Erwartungswert berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 21.01.2010 | | Autor: | Hugo20 |
Hallo,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich den Erwartungswert
E ( [mm] \left| X-1 \right| [/mm] ) berechne, wenn X normalverteilt sein soll?
Muss man es berechnen durch Einsetzen in die bekannte Erwartungswert-Formel oder gibt es einen kürzeren Weg?
Mit Einsetzen in die Formel bin ich jedenfalls nicht weitergekommen, ich hab das Integral aufgeteilt in positiven und negativen Teil, sodass die Betragsstriche wegfallen, und hab dann die zwei neuen Integrale wieder aufgeteilt (hab die Differeznz X - 1 auseinandergezogen). Aber so komm ich nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Do 21.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Hugo20,
ist der Erwartungswert und die Varianz von $X_$ bekannt?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Do 21.01.2010 | | Autor: | Hugo20 |
Der Erwartungswert ist 1 und die Varianz ist unbekannt, sie soll in meiner Aufgabe geschätzt werden. Aber um sie zu schätzen mit der Methode, die wir gelernt haben (Momentenmethode) , brauche ich diesen oben genannten Erwartungswert.
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Es sei [mm]\varphi[/mm] die Dichte der Standardnormalverteilung. Dann besitzt [mm]X[/mm] die Dichte [mm]t \mapsto \frac{1}{\sigma} \cdot \varphi \left( \frac{t-1}{\sigma} \right)[/mm], wobei [mm]\sigma[/mm] die Standardabweichung von [mm]X[/mm] bezeichne. Dann gilt:
[mm]\mathcal{E} \left( |X-1| \right) = \int_{- \infty}^{\infty} \left| t - 1 \right| \cdot \frac{1}{\sigma} \cdot \varphi \left( \frac{t-1}{\sigma} \right)~\mathrm{d}t = \int_{- \infty}^{\infty} \sigma |u| \cdot \frac{1}{\sigma} \cdot \varphi(u) \cdot \sigma~\mathrm{d}u[/mm]
[mm]= \sigma \int_{- \infty}^{\infty} |u| \cdot \varphi(u)~\mathrm{d}u = 2 \sigma \int_0^{\infty} u \, \varphi(u)~\mathrm{d}u[/mm]
Und das letzte Integral kann mittels der Definition von [mm]\varphi[/mm] berechnet werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Fr 22.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin allerseits
@ Leopold: Super ![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]") . Uebrigens, der Wert des Integrals ist [mm] $1/\sqrt{2\pi}$.
[/mm]
@ Hugo: Bitte teile kuenftig derart wichtige Zusatzinformationen
in den Aufgabenstellungen von vornherein mit. Sonst
gibt es zu viele Reibungsverluste.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Hugo20 |
Alles klar! Werd ich in Zukunft beachten. Danke euch.
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