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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mi 17.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in [0,1] und
Y eine gleichverteilte Zufallsvariable auf [0,1]. Ferner seien X und Y unabhängig.
Zeigen Sie: [mm] P(Y\le [/mm] X) = E(X) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
ich habe mir das folgendermaßen überlegt:
Y ist eine gleichverteilte ZV auf [0,1] und die Gleichverteilung auf [0,1] entspricht dem eindimensionalen Lebesgue-Maß [mm] \lambda. [/mm] Weiter wisssen wir, dass zu der maßdefinierende Funktion G(x)=x eben dieses [mm] \lambda [/mm] gehört. Somit gilt:
[mm] P(Y\le [/mm] X)=x
Seien nun [mm] x_j [/mm] Werte in [0,1], die mit Wahrscheinlichkeit [mm] p_j [/mm] angenommen werden.Dann gilt weiter:
[mm] P(Y\le X)=x=\sum_{j} x_j=\sum_{j} x_j\cdot{}1=\sum_{j} x_j\cdot{}p_j=E(X)
[/mm]
Kann das so stimmen oder habe ich mich da wo vertan? Wär klasse, wenn mir da jemand sagen könnte inwiefern das falsch ist. Oder ob es sogar stimmt. Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Do 18.06.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Somit gilt:
>
> [mm]P(Y\le[/mm] X)=x
>
> Seien nun [mm]x_j[/mm] Werte in [0,1], die mit Wahrscheinlichkeit
> [mm]p_j[/mm] angenommen werden.Dann gilt weiter:
>
> [mm]P(Y\le X)=x=\sum_{j} x_j=\sum_{j} x_j\cdot{}1=\sum_{j} x_j\cdot{}p_j=E(X)[/mm]
was ist der Sinn von x? d.h. was soll es überhaupt sein?
Und wieso ist
[mm] $\sum_{j} x_j\cdot{}1=\sum_{j} x_j\cdot{}p_j$
[/mm]
?
(ist es nicht. [mm] $\sum_{j} x_j$ [/mm] kann ja leicht größer als 1 sein, E(X) aber nicht. Wenn z.B. [mm] $X\in\left\{\frac{i}{10}; i\in\{1,\ldots,10\}\right\}$)
[/mm]
Vergiß mal die ganze Maßgeschichte und nimm bedingte Wkeiten:
[mm] $P(Y\leq X)=\sum_j P(Y\leq [/mm] X\ |\ [mm] X=x_j)P(X=x_j)=\ldots$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 18.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay dann also auf ein neues:
Setze [mm] P(Y\leq X|X=x_j):=x_j [/mm] und [mm] P(X=x_j)=p_j. [/mm] Es sind [mm] x_j [/mm] Werte aus [0,1], die mit W-keit [mm] p_j [/mm] angenommen werden.
Demnach gilt:
[mm] P(Y\leq X)=\sum_j P(Y\leq X|X=x_j)*P(X=x_j)=\sum_j x_j*p_j=E(X)
[/mm]
Kann ich das so schreiben oder mach ichs mir zu einfach und ich lieg wieder daneben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Do 18.06.2009 | | Autor: | Blech |
> Okay dann also auf ein neues:
>
> Setze [mm]P(Y\leq X|X=x_j):=x_j[/mm]
Du kannst das nicht einfach definieren.
Sowohl die [mm] $x_j$ [/mm] als auch der Ausdruck [mm] $P(Y\leq X|X=x_j)$ [/mm] haben eine eigene Bedeutung und Du mußt zeigen, warum Gleichheit gilt.
> und [mm]P(X=x_j)=p_j.[/mm]
Das hingegen ist eine Definition, weil wir [mm] $p_j$ [/mm] noch nicht verwendet haben. Also können wir uns mit
[mm] $p_j:=P(X=x_j)$ [/mm]
Schreibarbeit ersparen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 18.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay also ich habs nochmal probiert. Es gilt also:
[mm] P(Y\leq X|X=x_j)=P(Y\le x_j)=F(x_j)-F(0)=F(x_j)=\bruch{x_j-0}{1-0}=x_j [/mm] ,wobei F die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung auf [0,1] ist.
Kann ich das so machen oder? Wenn nicht wäre ich für einen Tipp dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Fr 19.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Wär echt toll, wenn man mir das noch bestätigen könnte, ob das so stimmt. Besten Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Fr 19.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wär echt toll, wenn man mir das noch bestätigen könnte, ob
> das so stimmt. Besten Dank.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Fr 19.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Prima, dann vielen Dank für die Bestätigung.
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