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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Do 29.05.2014 | | Autor: | Schrank |
| Aufgabe | Aus einem Kartenstapel (16 Karten) mit den Zahlen von 1 bis 4 in den Farben rot, gelb, grün und blau werde viermal ohne Zurücklegen gezogen.
a) Für i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} sei die Zufallsgröße [mm] X_{i} [/mm] so definiert, dass [mm] X_{i} [/mm] den Wert annimmt, wenn bei der i-ten Ziehung eine 3 gezogen wurde, und ansonsten den Wert 0. Berechnen Sie den Erwartungswert von [mm] X_{i} [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4}.
b) Bei Spielvariante A erhält man jedes Mal, wenn man eine 3 zieht, 3 Euro. Die Zufallsgröße U gebe den Gewinn in Euro bei diesem Spiel an. Stellen Sie U durch die Zufallsgröße [mm] X_{i}, [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} dar. Berechnen Sie den Erwartungswert E(U) und die Varianz Var (U) des Gewinns bei diesem Spiel.
c) Auch bei Spielvariante B erhält man jedes Mal, wenn man eine 3 zieht, einen Gewinn ausgezahlt, und zwar
7 Euro, für eine 3 bei der ersten Ziehung
1 Euro, für eine 3 bei der zweiten Ziehung
50 Cent für eine 3 bei der dritten Ziehung
25 Cent für eine 3 bei der vierten Ziehung
Die Zufallsgröße V gebe den Gewinn in Euro bei diesem Spiel an. Stellen Sie V durch die Zufallsgrößen [mm] X_{i}, [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} dar und berechnen Sie den Erwartungswert E(V) und die Varianz Var(V) des Gewinns bei diesem Spiel.
d) In Spielvariante C erhält man jedes Mal, wenn man eine Karte zieht abhängig von der Farbe einen Gewinn bzw. einen Verlust und zwar
6 Euro für eine rote Karte Ziehung
2 Euro für eine gelbe Karte Ziehung
-3 Euro für eine grüne Karte Ziehung
-7 Euro für eine blaue Karte Ziehung
Die Zufallsgröße W gebe den Gewinn in Euro bei diesem Spiel an. Berechnen Sie den Erwartungswert E(W) und die Varianz(W) des Gewinns bei diesem Spiel. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jedoch habe ich gesehen, dass die Aufgabe in einem anderen Forum von jemand anderem gestellt wurde. Leider verstehe ich die Antwort dort nicht, deshalb wollte ich hier meinen Lösungsweg präsentieren.
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1910952#post1910952
Meine Lösung:
a) [mm] E(X_{i})=x*P(X_{i}=x)=1*P(X_{i}=3)+0*P(X_{i}\not=3)=1*\bruch{4}{16}+0*\bruch{12}{16}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Damit erhalte ich für alle i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} den Erwartungswert [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
b) [mm] U=3*X_{1}+3*X_{2}+3*X_{3}+3*X_{4}
[/mm]
E(U)= [mm] E(3*X_{1}+3*X_{2}+3*X_{3}+3*X_{4})= E(3*X_{1})+E(3*X_{2})+E(3*X_{3})+E(3*X_{4})= 3*\bruch{1}{4}+3*\bruch{1}{4}+3*\bruch{1}{4}+3*\bruch{1}{4}=3
[/mm]
Mit dem Erwartungswert habe ich keine Probleme. Ich habe Schwierigkeiten mit der Varianz:
Die Formel für die Varianz lautet: [mm] Var(U)=E(U^{2})-E(U)^{2}
[/mm]
Wie ich auf [mm] E(U)^{2} [/mm] komme, ist mir klar. [mm] E(U)^{2}=3^{2}=9 [/mm]
Wie komme ich auf [mm] E(U^{2})? [/mm] Wenn ich mir andere Aufgaben, wie z.B. den Würfelwurf anschaue, ist mir das klar, aber ich kann das bei dieser Aufgabe irgendwie nicht, aber ich versuche es trotzdem mal:
[mm] E(U^{2})=E((3*X_{1}+3*X_{2}+3*X_{3}+3*X_{4})^{2})=3^{2}*(E(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4})^{2})= 3^{2}*(4*(1^{2}*P(X=3)+0^{2}*P(X\not=3)=3^{2}*(4*\bruch{1}{4})=9
[/mm]
Damit erhalte ich für die Varianz 0. Das ist falsch oder?
c) Erwartungswert wie bei b) berechnet und erhalte [mm] E(V)=\bruch{35}{16}
[/mm]
Hier habe ich das gleiche Problem mit der Varianz.
d) Bei diesem Aufgabenteil habe ich gar keinen Ansatz.
Kann mir jemand bei der Varianz und bei Aufgabenteil d) bitte behilflich sein.
Gruß
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Hiho,
[mm]E(X_{i})=x*P(X_{i}=x)=1*P(X_{i}=3)+0*P(X_{i}\not=3)=1*\bruch{4}{16}+0*\bruch{12}{16}=\bruch{1}{4}[/mm]
Das ist falsch. Warum sollte [mm] $P(X_i [/mm] = [mm] 3)=\bruch{1}{4}$ [/mm] sein? Für i=1 ist das klar, aber bspw. hängt die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis [mm] $\{X_4=3\}$ [/mm] doch ganz klar davon ab, was [mm] X_1,X_2 [/mm] und [mm] X_3 [/mm] für Werte haben.
Wurde bei den ersten drei Ziehungen schon jeweils eine 3 gezogen, ist die Wahrscheinlichkeit die vierte drei auch noch zu ziehen wesentlich geringer als [mm] $\bruch{1}{4}$.
[/mm]
Du solltest dir im Vorfeld vielleicht den entsprechenden ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel zur Modellierung mal ansehen und dir dann eine geeignete Ergebnismenge [mm] \Omega [/mm] definieren und darauf dann die Abbildungen [mm] $X_i: \Omega \to \{1,2,3,4\}$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 29.05.2014 | | Autor: | Schrank |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Ich bin jetzt alle Möglichkeiten durchgegangen, also, was in den anderen Ziehungen passiert. Ich bekomme trotzdem 1/4 raus, also für [mm] P(X_{1}) [/mm] eine 3 zu ziehen und für [mm] X_{2}, X_{3}, X_{4}. [/mm]
Zum Beispiel für [mm] X_{2}: \bruch{4}{16}*\bruch{3}{15}+\bruch{12}{16}*\bruch{4}{15}
[/mm]
Kann mir jemand noch etwas zur Varianz sagen?
Gruß
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Hiho,
> Ich bin jetzt alle Möglichkeiten durchgegangen, also, was in den anderen Ziehungen passiert. Ich bekomme trotzdem 1/4 raus, also für [mm]P(X_{1})[/mm] eine 3 zu ziehen und für [mm]X_{2}, X_{3}, X_{4}.[/mm]
> Zum Beispiel für [mm]X_{2}: \bruch{4}{16}*\bruch{3}{15}+\bruch{12}{16}*\bruch{4}{15}[/mm]
Also erstmal: Das stimmt mit der Wahrscheinlichkeit. Bei deiner Herleitung scheinst du aber so zu tun, als wären deine [mm] X_i [/mm] unabhängig, was sie aber nicht sind. Oder wie kommst du auf die $ [mm] \bruch{4}{16}*\bruch{3}{15}$?
[/mm]
Ich würde eher über Symmetriegründe argumentieren, aber einfach so hinzuschreiben, dass [mm] $\IP(X_2 [/mm] = 1) = [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] gilt, ist nicht ausreichend.
> Kann mir jemand noch etwas zur Varianz sagen?
Da hast du schon erkannt, dass deine Herleitung nicht stimmt. Die Varianz ist nur für konstante Zufallsvariablen 0, ansonsten immer größer als Null.
Problem: Einen schönen Ansatz sehe ich da auch nicht, denn ohne die Unabhängigkeit der [mm] X_i [/mm] wirst du da nicht viel rumrechnen können.
Ich würde den Ansatz wählen, dein U erstmal so umzuschreiben, dass du damit besser rechnen kannst, nämlich:
$U [mm] =\begin{cases} 0, & \mbox{falls keine drei vorkommt}\\ 1, & \mbox{falls genau eine drei vorkommt} \\ \ldots \\ 4, & \mbox{falls genau vier dreien vorkommen} \end{cases}$
[/mm]
Dann kannst du die Wahrscheinlichkeiten [mm] $\IP(U=0),\ldots,\IP(U=4)$ [/mm] direkt bestimmen und damit den EW (zur Kontrolle) und die Varianz direkt ausrechnen.
Gruß,
Gono.
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Hiho,
was mir noch eingefallen ist: Wenn du die Varianz direkt über die [mm] $X_i$ [/mm] berechnen möchtest, kannst du natürlich auch die Summenformel für die Varianz nehmen, dafür brauchst du aber die Kovarianzen der [mm] $X_i$. [/mm] Diese sollten aber auch nicht schwer zu berechnen sein (insbesondere musst du aus Symmetriegründen nur eine Kovarianz berechnen).
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Schrank |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Gruß
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