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| Aufgabe | Sei [mm] X\sim Po_{\alpha} [/mm] für ein [mm] \alpha \in (0,\infty). [/mm]
Bestimmen Sie alle [mm] \beta \in \IR [/mm] , sodass die Zufallsvariable [mm] exp(\beta [/mm] X) einen endlichen Erwartungswert bestizt, und berechnen Sie diesen Wert. |
Mein Lösungsansatz ist folgender:
[mm] \begin{matrix}
E[e^{\beta X}] &=& E[e^\beta e^X] \\
\ & \stackrel{1}{=}& e^\beta E[e^X] \\
\ & =& e^\beta \summe_{x\in X(\Omega)} e^x \IP (X=x) \\
\ & =& e^\beta \summe_{k=0}^{\infty} e^x e^{\alpha} \frac{\alpha^k}{k!} \\
\ & =& e^{\beta - \alpha} \summe_{k=0}^{\infty} \frac{(e \alpha )^k}{k!} \\
\ & =& e^{\beta - \alpha} e^{e \alpha} \\
\ & =& e^{\beta + \alpha (e-1)}
\end{Matrix}
[/mm]
1)Linearität des EW
Das wäre jetzt meine Lösung, mir kommt nur folgendes komisch vor.
bei dieser Lösung wäre ja für [mm] \beta [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] der EW endlich, bei festen [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] .
Und dazu könnte ich nicht den genauen Wert dazu berechnen.
Ich würde mich daher sehr über Hilfe freuen.
Viele Grüße
Jeany
Ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jeany,
>$ [mm] E[e^{\beta X}] [/mm] = [mm] E[e^\beta e^X]$
[/mm]
das ist falsch, da [mm] $e^{\beta*x} \not= e^\beta*e^x$ [/mm] (Potenzgesetze nacharbeiten!)
Deine Art, wie du nachher [mm] $E[e^X]$ [/mm] berechnest, ist korrekt. Warum nicht gleich für [mm] $E[e^{\beta X}]$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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Oh man...das ist jetzt echt peinlich...
Ich habe deswegen nicht gleich [mm] E[e^{\beta X}] [/mm] berechnet, weil ich nicht weiß wie genau das dann funktioniert, bzw wo genau ich das [mm] \beta [/mm] beachten muss.
Ich probiere es mal:
[mm] E[e^{\beta X}] [/mm] = [mm] \summe_{x\in X(\Omega)} e^{\beta x} \IP (\beta [/mm] X = [mm] \beta [/mm] x)
genau hier ist mein Problem.
Kommt ins [mm] \IP [/mm] dann [mm] \beta [/mm] X oder nur X?
mit dem [mm] \beta [/mm] bekomme ich dann nämlich ein Problem.
[mm] \beta [/mm] ist reell und es müsste dann aber dann die Fakultät einer reellen Zahl gebildet werden, da das ganze dann so aussehen würde:
[mm] E[e^{\beta X}] [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} e^{\beta k} \frac{\alpha^{\beta k}}{(\beta k)!}
[/mm]
Also probieren wir es mal ohne das [mm] \beta [/mm] :
[mm] \begin{matrix}
E[e^{\beta X}] &=& \summe_{k=0}^{\infty} e^{\beta k} \IP( X = x)\\
\ & =& \summe_{k=0}^{\infty} e^{\beta k} e^{-\alpha} \frac{\alpha^k}{k!}\\
\ & =& e^{-\alpha} \summe_{k=0}^{\infty} \frac{e^{\beta^k}\alpha^k}{k!}\\
\ & =& e^{-\alpha} \summe_{k=0}^{\infty} \frac{(e^{\beta}\alpha)^k}{k!}\\
\ & =& e^{-\alpha} e^{e^{\beta}\alpha}\\
\ & =& e^{\alpha(e^{\beta} -1)}\\
\end{matrix}
[/mm]
Das macht von Ergebnis, was [mm] \beta [/mm] sein muss jetzt aber keinen Unterschied.
Die einzige Aussage die ich treffen kann ist dass mein Erwartungswert immer größer null ist und da [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta \in \IR [/mm] auch endlich bleibt.
Oder habe ich da etwa schon wieder einen doofen Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] E[e^{\beta X}] [/mm] = [mm] \summe_{x\in X(\Omega)} e^{\beta x} \IP (\beta [/mm] X = [mm] \beta [/mm] x) $
hier kannst Du [mm] $\beta$ [/mm] in der Wkeit eh kürzen.
> Kommt ins $ [mm] \IP [/mm] $ dann $ [mm] \beta [/mm] $ X oder nur X?
Wie kommst Du denn überhaupt auf die Formel? Welche Definition/Satz/Korollar wendest Du denn an?
> Also probieren wir es mal ohne das $ [mm] \beta [/mm] $ :
"Geht einfacher" ist nämlich ein schlechter Grund für eine Entscheidung. =)
> Das macht von Ergebnis, was $ [mm] \beta [/mm] $ sein muss jetzt aber keinen Unterschied.
> Die einzige Aussage die ich treffen kann ist dass mein Erwartungswert immer größer null ist und da $ [mm] \alpha [/mm] $ , $ [mm] \beta \in \IR [/mm] $ auch endlich bleibt.
Ja.
ciao
Stefan
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Hiho,
> Ich habe deswegen nicht gleich [mm]E[e^{\beta X}][/mm] berechnet,
> weil ich nicht weiß wie genau das dann funktioniert, bzw
> wo genau ich das [mm]\beta[/mm] beachten muss.
Aha, was ist bei [mm] e^x [/mm] denn anders als bei [mm] $e^{\beta*x}$ [/mm] ??
Und jetzt treiben wir den Spaß mal weiter: Wie berechnest du denn in diesem Fall hier allgemein den Erwartungswert von f(X), wenn f eine meßbare Funktion ist?
Und um es auf die Spitze zu treiben: Sei Y beliebig verteilt mit Verteilungsdichte [mm] $g_Y$, [/mm] wie berechnest du dann Allgemein den Erwartungswert von f(Y), wenn f eine meßbare Funktion ist?
MFG,
Gono.
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Okay ich probiere jetzt eure Fragen so gut wie möglich zu beantworten.
@Blech
Wir hatten in der Vorlesung ein Lemma, dass wir dann im Tutorium etwas erweitert haben. Wir haben es "Eigenschaften des Erwartungswertes" genannt.
Dazu gehört u.a.:
Sei X ZV, [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , und [mm] X\in L^1 [/mm] , dnn gilt.
[mm] E[\psi [/mm] (X)] = [mm] \summe_{x\in\Omega} \psi (x)\IP(X=x)
[/mm]
Gut, dass du danach gefragt hast, daran hatte ich schon gar nicht mehr gedacht.
Wenn jetzt nämlich [mm] \phi(X)=e^{\beta X} [/mm] ist, dann ist ja ganz klar, dass es
[mm] E[e^{\beta X}]= \summe_{x\in\Omega} e^{\beta x} \IP(X=x) [/mm] sein muss.
@Gono
Ich fand es war deswegen anders, weil da plötzlich ein [mm] \beta [/mm] war, und ich nicht genau wusste, wo in die Summe es reingehört oder nicht.
Mit [mm] e^x [/mm] hatten wir das ganze im Tutorium für die geometrische Verteilung nämlich schon gelöst.
Und weiter mit dem Spaß:
Wie berechne ich allgemein den Erwartungswert von f(X), wenn f eine messbare Funktion ist?
Ist f(X) die Verteilungsfunktion?
Ich habe davon durch meine google suche gehört, aber wir selber hatten diesen Begriff in WT noch nicht.
Genau wie das, was eine messbare Funktion ist.
Ich würde raten, das hat etwas mit Maßtheorie zu tun.
Naja das hatten wir in Analysis nicht und in WT kommt es erst in Kapitel 6 und wir sind grad im dritten.
Da mich das ganze aber interessiert, habe ich einfach mal ein bisschen rumgesucht, und habe mir folgendes zusammengebastelt:
Messbarkeit scheint von der Definition her etwas ähnliches wie Stetigkeit zu sein, allerdings geht eine messbare Funktion immer von einem Raum [mm] (\Omega_1 [/mm] , [mm] A_1) [/mm] in einen Raum [mm] (\Omega_2 [/mm] , [mm] A_2), [/mm] wobei der Zielbereich normierter, oder metrischer Raum ist.
A ist dabei eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra mit Teilmengen aus [mm] \Omega [/mm] (Ich weiß auch nicht was das ist)
Ich würde aber sagen, dass ganz allgemein mein Lemma, dass ich weiter oben genannt hatte passen würde.
Dann würde ja wenn X meine Poisson Verteilung ist und [mm] \psi [/mm] meine messbare Funktion Y = [mm] \psi(X) [/mm] meine neue und ja benötigte Zufallsvariable sein
Die Verteilungfunktion wäre dann(laut Wiki):
[mm] F_Y(y) [/mm] = [mm] \IP(\psi(X) \le [/mm] y)
Der Erwartungswert der Verteilung schreint dann etwas mit Integralen zu tun zu haben.
Ich weiß allerdings nicht wie weit ich jetzt schon von Thema abgekommen bin.
Außerdem merke ich grade, dass ich erst geschrieben habe, dass die Verteilungsfunktion die messbare ist, und dann wars doch plötzlich mein [mm] \psi [/mm] ...
Ich würde mich allerdings trotzdem über eine Antwort und Erkläung freuen, auch wenn die eigentliche Aufgabe wohl gelöst ist.
Aber mich interessiert einfach was noch so kommt.
Viele Grüße
Jeany
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wir hatten in der Vorlesung ein Lemma, dass wir dann im Tutorium etwas erweitert haben. Wir haben es "Eigenschaften des Erwartungswertes" genannt.
> Dazu gehört u.a.:
> Sei X ZV, $ [mm] \phi [/mm] $ : $ [mm] \IR [/mm] $ -> $ [mm] \IR [/mm] $ , und $ [mm] X\in L^1 [/mm] $ , dnn gilt.
> $ [mm] E[\psi [/mm] $ (X)] = $ [mm] \summe_{x\in\Omega} \psi (x)\IP(X=x) [/mm] $
> Gut, dass du danach gefragt hast, daran hatte ich schon gar nicht mehr gedacht.
> Wenn jetzt nämlich $ [mm] \phi(X)=e^{\beta X} [/mm] $ ist, dann ist ja ganz klar, dass es
> $ [mm] E[e^{\beta X}]= \summe_{x\in\Omega} e^{\beta x} \IP(X=x) [/mm] $ sein muss.
Jo. Fertig. =)
Ergebnis stimmte eh.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 14.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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