Erwartungswert Paare (1,0) < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] seien unabhängige B(1,p)-verteilte Zufallsvariable. Z sei die Anzahl der Paare (i,i+1), (i [mm] \in [/mm] {1,...,n-1}), für die [mm] X_{i}=1 [/mm] und [mm] X_{i+1}=0 [/mm] ist.
Man berechne Erwartungswert und Varianz von Z. |
Hallo ihr Lieben,
ich hab hier eine Stochastik-Aufgabe (ich hoffe dass es hier bei Kombinatorik richtig steht...), die mir seit Tagen Kopfzerbrechen bereitet.
Was ich bereits weiß:
- es handelt sich um 0-1-Reihen (z.b. 00100001111010100100101...) die i-mal 1 und j-mal (also (n-i)-mal) 0 enthalten; man könnte also [mm] p^{i} [/mm] mal [mm] q^{j} [/mm] als Wahrscheinlichkeit annehmen - jedoch fehlt da wohl ein Koeffizient davor... (Multinomialkoeffizient?!? - ich komm da auf keinen grünen Zweig)
- der Erwartungswert [mm] E(Z)=\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}k*p(k) [/mm] für gerades n (denn wenn n gerade ist kann ich ja [mm] \bruch{n}{2} [/mm] solche Paare (1,0) "hinsetzen")
- der Erwartungswert [mm] E(Z)=\summe_{k=0}^{\bruch{n-1}{2}}k*p(k) [/mm] für ungerades n (denn wenn n ungerade ist, kann ich ja nur bis zum n-1-ten Element die Paare "hinsetzen")
- in beiden Fällen fehlt mir aber das p(k) für k=0,...n/2 bzw. (n-1)/2 ---- und genau da ist der Punkt wo ich nicht weiterweiß...
Ich bin sogar soweit gegangen, dass ich (in langer Arbeit) für n=2,...,n=6 mal die Kombinationen der 0-1-Reihen hingeschrieben habe und die (1,0)-Paare gezählt hab.
Das Problem ist: ich kann das Ganze nicht einfach in Zweierblöcke unterteilen z.b. (1,1) , (0,0), (1,0), (0,1), da schon bei der Hintereinanderreihung von (1,1) und (0,0) wieder ein (1,0)-Paar in der z.B. 011010101010101011111100001010...-Reihe auftritt :-(
In meinen Beispielen zeigte sich das:
Es ergaben sich folgende "Entwicklungen" für die Anzahl der Paare (1,0) Z:
Kombinationen, die 0-mal das Paar (1,0) enthalten: (von n=2 bis n=6) 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - ... d.h. bei n=2 gibt es 3 Kombinationen die 0-mal das Paar enthalten, bei n=3 sind es 4 Kombis usw. (hier die Regelmäßigkeit zu erkennen ist nicht schwer, aber 0 ist ja für die Anzahl Z leider nicht von Bedeutung)
Kombinationen die 1-mal das Paar (1,0) enthalten: (wieder von 2 bis 6) 1 - 4 - 10 - 20 - 35 - ... (hier könnte man über die Differenz des Vorgängers und Nachfolgers rekursiv die nächste Zahl bestimmen - hilft aber wohl nicht viel)
Kombis die 2-mal das Paar enthalten: 0 - 0 - 2 - 6 - 21 - ...
Kombis die 3-mal das Paar enthalten: 0 - 0 - 0 - 0 - 1 - ...
Damit folgt für die Gesamtzahl Z der Paare (1,0) in einer 1-0-Reihe der Länge n folgendes: (wieder von n=2 bis n=6)
1 - 4 - 12 - 26 - 57 - ...
Soweit meine "beispielgebundenen" Überlegungen. Jedoch hilft mir das nicht, die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für Z zu bestimmen, die ich ja für den Erwartungswert E(Z) brauche. Oder doch? :)
Über einen Tipp wäre ich sehr froh und dankbar!!
Vielen Dank im Voraus,
FilleDeDanann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Di 06.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin FilleDeDanann,
betrachte die n-1 Zufallsvariablen [mm] Z_i [/mm] mit [mm] Z_i=1 \iff X_{i}=0 [/mm] und
[mm] X_{i+1}=1 [/mm] und [mm] Z_i=0 [/mm] sonst, [mm] i=1,\dots,n-1. [/mm] Es gilt [mm] Z=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i. [/mm] Hieraus kannst du
leicht [mm] \operatorname{E}[Z] [/mm] berechnen.
Bei der Berechnung der Varianz brauchst du
[mm] \operatorname{Cov}[Z_i,Z_{i+1}] [/mm] (fuer |i-j|>1 ist [mm] \operatorname{Cov}[Z_i,Z_{j}]=0...)
[/mm]
vg Luis
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Hallo Luis,
danke für deine Antwort.
Mir ist klar, dass der Erwartungswert, dann die Summe der "Einzelerwartungswerte" ist, also n-1 mal den Einzelerwartungswert: [mm] (n-1)*E(Z_{i})
[/mm]
Aber was ist denn [mm] E(Z_{i})? [/mm] Ich kenne doch die Wahrscheinlichkeit [mm] p(Z_{i}) [/mm] nicht....
Wie kommt man da drauf?
Liebe Grüße,
FilleDeDanann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Di 06.01.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Aber was ist denn [mm]E(Z_{i})?[/mm] Ich kenne doch die
> Wahrscheinlichkeit [mm]p(Z_{i})[/mm] nicht....
>
Doch: [mm] P(Z_i=1)=P(X_i=0,X_{i+1}=1)=P(X_i=0)P(X_{i+1}=1)=(1-p)p.
[/mm]
vg Luis
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Mann, das is ja einfach....
Und ich rechne da rum... und mach mir gedanken wie ich P(Z) für Z=0,...,n/2 und (n-1)/2 berechnen könnte...
Vielen Vielen Dank!!! Jetzt wird mir einiges klarer  !!
Danke,
FilleDeDanann
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