Erwartungswert Lévy Prozess < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Fr 27.07.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
wenn ich einen Lévy Prozess [mm] $(X_t)$, [/mm] wieso gilt
[mm] $$E[X_{t-s}] [/mm] = [mm] (t-s)E[X_1]$$
[/mm]
Ich nehme an ich muss verwenden, dass für alle [mm] $t,h\ge [/mm] 0$ gilt: [mm] $X_{t+h}-X_t$ [/mm] und [mm] $X_h$ [/mm] haben die gleiche Verteilung. Danke für die HIlfe!
physicus
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Hallo,
kennst du das Konzept der charakteristischen Funktion einer Zufallsvariablen $X$?
Kennst du die charakteristische Funktion eines Levi-Prozesses [mm] $X_{t}$?
[/mm]
Mittels dieser kann man leicht zeigen, dass
[mm] $E(X_{t})=t\cdot E(X_{1})$ [/mm]
ist, falls [mm] $X_{t}$ [/mm] ein Levi-Prozess ist.
Dies dann angewandt für $t-s$ liefert dann die Behauptung.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mi 01.08.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo
Danke für deine Antwort. Ich weiss, dass die charakteristische Funktion von [mm] $X_t$ [/mm] gegeben ist durch:
[mm] $$\phi_{X_t}(u):=E[e^{iu\cdot X_t}]=(E[e^{iu\cdot X_1}])^t$$
[/mm]
Wie kann ich nun daraus folgern, dass gilt: [mm] $E[X_t]=tE[X_1]$?
[/mm]
Danke für deine Hilfe
physicus
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Hallo,
es gilt doch
[mm] $E(X_{t})=\frac{\phi'_{X_{t}}(0)}{i}$.
[/mm]
Bestimme also mal [mm] $\phi'_{X_{t}}(u)$ [/mm] und beachte dass jede charakteristische Funktion an der Stelle $0$ den Wert $1$ hat.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 01.08.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo
> es gilt doch
>
> [mm]E(X_{t})=\frac{\phi'_{X_{t}}(0)}{i}[/mm].
>
> Bestimme also mal [mm]\phi'_{X_{t}}(u)[/mm] und beachte dass jede
> charakteristische Funktion an der Stelle [mm]0[/mm] den Wert [mm]1[/mm] hat.
>
> Viele Grüße
> Blasco
Wie kann ich [mm] $\phi'$ [/mm] berechnen? Ich weiss ja nicht, wie es aussieht. Ich weiss auch nicht, ob ich Ableiten und Erwartungswert einfach vertauschen kann. Nochmals danke für deine Hilfe.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
wie $\phi_{X_{t}}(u)$ genau aussieht brauchst du auch gar nicht zu wissen.
Mit der Kettenregel und der Beziehung
$\phi_{X_{t}}(u)=\left(\phi_{X_{1}}(u)\right)^{t}$
folgt doch
$\phi_{X_{t}}'(u)=(\phi_{X_{1}}(u)\right)^{t})'=t \cdot \left(\phi_{X_{1}}(u)\right)^{t-1}\cdot \phi'_{X_{1}}(u) $
Jetzt versuch das mal mit meinem letzten Beitrag zu kombinieren.
Viele Grüße
Blasco
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