Erwartungswert - Beweis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | X sei eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in [mm] N_{0}. [/mm]
Zeigen Sie: E(X)= [mm] \summe_{k\ge1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k) |
Hallo Mathegenies!
Die Aufgabenstellung ist mir klar und ich hab auch schon eine Idee.
Der Erwartungswert wird ja so berechnet:
E(X)= [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] k*P(X=k)
Wenn man die Glieder der Reihen einzeln aufschreibt, ist sofort klar, dass dies gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] k*P(X=k) = [mm] \summe_{k\ge1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k)
Ich möchte aber dafür einen Beweis.
Mein Vorschlag: Beweis durch Induktion:
Ich zeige, dass die #P(X=n)=n in der Reihe [mm] \summe_{k\ge1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k)
IA: n=1 trivialerweise erfüllt.
IS: n [mm] \to [/mm] n+1:
Wissen also: #P(X=n)=n in der Reihe [mm] \summe_{k\ge1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k) für alle 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
[mm] \summe_{k\ge1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k) = [mm] \summe_{k\ge1}^{ n} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k) + [mm] \summe_{k\ge n+1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k)
die # P(X=n)=n in [mm] \summe_{k\ge1}^{ n} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k)
[mm] \Rightarrow [/mm] # P(X=n+1)=n in [mm] \summe_{k\ge1}^{ n} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k)
und die # P(X=n+1)=1 in [mm] \summe_{k\ge n+1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k)
insgesamt [mm] \Rightarrow [/mm] # P(X=n+1)=n+1 [mm] \Box
[/mm]
Das wär mein Beweis.
Passt das so?
Vielleicht hat jemand eine bessere Idee.
Besten Dank für eure Hilfe!
mfg URSUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Sa 29.04.2006 | | Autor: | DirkG |
Im Grunde genommen ist es richtig, aber an der entscheidenden Stelle
> die # P(X=n)=n in [mm]\summe_{k\ge1}^{ n}[/mm] P(X [mm]\ge[/mm] k)
> [mm]\Rightarrow[/mm] # P(X=n+1)=n in [mm]\summe_{k\ge1}^{ n}[/mm] P(X [mm]\ge[/mm] k)
ist es für meinen Geschmack etwas dünn kommentiert. Ich würde es einfach über eine Doppelsumme, und dann Vertauschung der Summationsindizes machen:
[mm] $$\sum\limits_{k=1}^{\infty} [/mm] ~ [mm] P(X\geq [/mm] k) = [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sum\limits_{n=k}^{\infty} [/mm] ~ P(X=n) = [mm] \sum\limits_{1\leq k\leq n<\infty} [/mm] ~ P(X=n) = [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^n [/mm] ~ P(X=n) = [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] ~ nP(X=n)$$
Falls jemand die Stirn runzelt ("darf man so einfach in einer Doppelreihe die Summation vertauschen?"): Alle Reihenglieder sind nichtnegativ, also gibt es nur die beiden Fälle absolute Konvergenz oder bestimmte Divergenz gegen [mm] $+\infty$. [/mm] In beiden Fällen ist die Vertauschung zulässig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Ursus |
Vielen Dank!
So gefällt es mir auch besser.
Mfg URSUS
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