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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Di 26.03.2013 | | Autor: | melodie |
hallo,
ich habe eine standartnormalverteilte Zufallsvariable X mit der Abbildung g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
und
g(x)= |x|+4 mit [mm] x\in \IR
[/mm]
gesucht ist :
1. [mm] P(g(x)\le [/mm] 4.4)
offizieller Lösungsweg:
[mm] \integral_{g(x)\le 4.4}{f_X(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-0.4}^{0.4}{f_X(x) dx} =2\phi [/mm] (0.4) -1 = 0,3108
ich verstehe nicht, wie man auf die Grenzen 0.4 und -0.4 kommt und wie daraus [mm] 2\phi [/mm] (0.4) - wird.
2. E(g(x)) = [mm] \integral_{\IR}{g(x)f_X(x) dx}= \integral_{\IR}{(|x|+4)(\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} ) *e ^{\bruch{-x^2}{2}}dx}
[/mm]
= [mm] (\bruch{2}{\wurzel{2\pi}} [/mm] ) [mm] \integral_{0}^{infty}{xe ^{\bruch{-x^2}{2}}dx} [/mm] +4
[mm] (\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} )e^{\bruch{-x^2}{2}} [/mm] wird aus einer Tabelle abgelesen, nehme ich an?
warum wurden im letzten Schritt die Grenzen o und unendlich genommen und wie komme ich hier auf den Vorfaktor [mm] (\bruch{2}{\wurzel{2\pi}} [/mm] ) ?
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Hallo melodie,
> hallo,
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> ich habe eine standartnormalverteilte Zufallsvariable X mit
> der Abbildung g: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> und
> g(x)= |x|+4 mit [mm]x\in \IR[/mm]
>
>
> gesucht ist :
>
> 1. [mm]P(g(x)\le[/mm] 4.4)
>
> offizieller Lösungsweg:
>
> [mm]\integral_{g(x)\le 4.4}{f_X(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-0.4}^{0.4}{f_X(x) dx} =2\phi[/mm] (0.4) -1 = 0,3108
>
> ich verstehe nicht, wie man auf die Grenzen 0.4 und -0.4
> kommt und wie daraus [mm]2\phi[/mm] (0.4) - wird.
>
Aus [mm]g\left(x\right)=\vmat{x}+4 \le 4.4[/mm] folgt [mm]\vmat{x} \le 0.4[/mm]
und daraus folgt für [mm]x < 0: x \ge -0.4[/mm] und für [mm]x \ge 0: x \le 0.4[/mm]
Die Auswertung des Integrals ergibt: [mm]\phi\left(0.4\right)-\phi\left(-0.4\right)[/mm]
Aus Symmetriegründen folgt [mm]\phi\left(-0.4\right)=1-\phi\left(0.4\right)[/mm]
Daraus ergibt sich dann: [mm]2\phi(0.4) -1[/mm]
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> 2. E(g(x)) = [mm]\integral_{\IR}{g(x)f_X(x) dx}= \integral_{\IR}{(|x|+4)(\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} ) *e ^{\bruch{-x^2}{2}}dx}[/mm]
>
> = [mm](\bruch{2}{\wurzel{2\pi}}[/mm] ) [mm]\integral_{0}^{infty}{xe ^{\bruch{-x^2}{2}}dx}[/mm]
> +4
>
>
> [mm](\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} )e^{\bruch{-x^2}{2}}[/mm] wird aus
> einer Tabelle abgelesen, nehme ich an?
>
Wenn das die Stammfunktion des Integranden ist,
dann kannst Du auf diese via Substitution kommen.
> warum wurden im letzten Schritt die Grenzen o und unendlich
> genommen und wie komme ich hier auf den Vorfaktor
> [mm](\bruch{2}{\wurzel{2\pi}}[/mm] ) ?
Aus der Symmetrie der Funktion g(x).
Gruss
MathePower
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