Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 28.04.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] \IZ_{+} [/mm] und endlichem Erwartungswert. Zeigen Sie, dass folgende Formel gilt:
[mm] E(X)=\summe_{n=0}^{\infty}P(X>n) [/mm] |
Kann mir jemand zeigen, wie ich diese Relation beweisen kann? Ich habe damit begonnen, dass die linke Seite eigentlich
[mm] E(X)=\summe_{n\ge0}^{\infty}nP(X=n)
[/mm]
geben sollte und dass ich die rechte Seite auch schreiben kann als
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}P(X>n)=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=n+1}^{\infty}P(X=k)
[/mm]
Doch wie kann ich von der rechten Seite auf die linke schliessen? Oder bin ich völlig auf dem Holzweg? Dank schon im voraus!! ^^
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> Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [mm]\IZ_{+}[/mm] und
> endlichem Erwartungswert. Zeigen Sie, dass folgende Formel
> gilt:
> [mm]E(X)=\summe_{n=0}^{\infty}P(X>n)[/mm]
> Kann mir jemand zeigen, wie ich diese Relation beweisen
> kann? Ich habe damit begonnen, dass die linke Seite
> eigentlich
> [mm]E(X)=\summe_{n\ge0}^{\infty}nP(X=n)[/mm]
> geben sollte und dass ich die rechte Seite auch schreiben
> kann als
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}P(X>n)=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=n+1}^{\infty}P(X=k)[/mm]
Richtig; natürlich ist [mm] $\summe_{k=n+1}^{\infty}\! [/mm] P(X=k)\ \ =\ \ P(X>n)$ !
E(X) = 1*P(X=1)+2*P(X=2)+3*P(X=3)+4*P(X=4)+......
= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+......
+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+......
+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+......
+P(X=4)+P(X=5)+......
+P(X=5)+......
+......
= P(X>0)+P(X>1)+P(X>3)+P(X>4)+P(X>5)+......
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}P(X>n)
[/mm]
LG Al-Chw.
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