Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Sei X Poisson-verteilt mit Parameter [mm]\lambda[/mm] . Berechnen Sie [mm]E[\bruch{1}{1+X}] [/mm] |
ich hab probleme mit dem anfang.
ich weiß, dass E(g(x))=[mm]\summe_{i=1}^{n}g(x_{i})*P(X=x_{i})[/mm]
und ich glaube das muss ich hier irgendwie verwenden, aber ich muss das [mm]\bruch{1}{1+X}[/mm] bestimmt irgendwie auseinander ziehen, oder???
ich wär für den ersten schritt ganz dankbar!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Fr 28.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin ella87,
> ich wär für den ersten schritt ganz dankbar!
Wie gewuenscht:
[mm] \begin{matrix}
\operatorname{E}\left[\dfrac{1}{X+1}\right]
&=&\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i+1}\dfrac{\lambda^i}{i!}\exp[-\lambda] \\
&=&\exp[-\lambda]\sum_{i=0}^\infty\dfrac{\lambda^i}{(i+1)!}
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ella87 |
danke für die schnelle arbeit, aber ich bin irgendwie zu dämlich!
ich hab mich an einer summenverschiebung probiert, um auf eine bekannte verteilung zu kommen. hat nicht geklappt :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Fr 28.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> danke für die schnelle arbeit, aber ich bin irgendwie zu
> dämlich!
> ich hab mich an einer summenverschiebung probiert, um auf
> eine bekannte verteilung zu kommen. hat nicht geklappt :-(
Na gut:
[mm] \begin{matrix}
\operatorname{E}\left[\dfrac{1}{X+1}\right]
&=&\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i+1}\dfrac{\lambda^i}{i!}\exp[-\lambda] \\
&=&\exp[-\lambda]\sum_{i=0}^\infty\dfrac{\lambda^i}{(i+1)!} \\
&=&\dfrac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\sum_{i=0}^\infty\dfrac{\lambda^{i+1}}{(i+1)!}\\
&=&\dfrac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\sum_{i=1}^\infty\dfrac{\lambda^{i}}{i!} \\
&=&\dfrac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\left[\sum_{i=0}^\infty\dfrac{\lambda^{i}}{i!}-1\right] \\
&=&\dfrac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\left[\exp[\lambda]-1\right]
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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