Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Fr 23.05.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Bei einem Spiel zahlt man 5 Euro als Einsatz und darf dann n mal mit einem homogenen Würfel würfeln. Die Anzahl der 6-en, die auftreten, werden verdreifacht und vom Ergebnis wird 1 abgezogen. Der daraus resultierende Wert ist der Zahlungsbetrag A des Spielers in Euro.
Wie ist der Erwartungswert A? |
Irgendwie verwirrt mich der hintere Teil ein wenig...
Ich gehe mal davon aus, dass man hier die Formel für diskrete Zufallsvariablen nutzen kann, d.h.
E(X) = [mm] \summe_{x aus X} [/mm] x*px(x)
Ist dann der Erwartungswert:
E(X) = [mm] ((\bruch{1}{6})^{n} [/mm] * 6) 3 ) - 1 ??
Sieht irgendwie falsch aus die Lösung 
Wäre für Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Fr 23.05.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Bei einem Spiel zahlt man 5 Euro als Einsatz und darf dann
> n mal mit einem homogenen Würfel würfeln. Die Anzahl der
> 6-en, die auftreten, werden verdreifacht und vom Ergebnis
> wird 1 abgezogen. Der daraus resultierende Wert ist der
> Zahlungsbetrag A des Spielers in Euro.
>
> Wie ist der Erwartungswert A?
> Irgendwie verwirrt mich der hintere Teil ein wenig...
> Ich gehe mal davon aus, dass man hier die Formel für
> diskrete Zufallsvariablen nutzen kann, d.h.
>
> E(X) = [mm]\summe_{x aus X}[/mm] x*p(x)
>
> Ist dann der Erwartungswert:
> E(X) = [mm]((\bruch{1}{6})^{n}[/mm] * 6) 3 ) - 1 ??
Eher nicht!
Vielleicht erstmal ein intuitiver Ansatz: Wenn du 6mal würfelst, kannst du mit einer 6 rechnen, und A wäre 2. (Den Einsaz lasse ich außen vor.) Wenn du 12mal würfelst, kannst du 2 6en erwarten, und A wäre 5. Das führt auf die Formal A = (n/2) - 1.
Für die rechnerische Lösung brauchst du wohl die Binomialverteilung. Der Zahlungsbetrag ist 3k-1, wenn du k 6en hast, und die W. für k 6en bei n Würfen ist
[mm] \vektor{n \\ k}(\bruch{1}{6})^{k}(\bruch{5}{6})^{n-k}
[/mm]
Damit kannst du deine obige Formel für die Erwartung anwenden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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