Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Mi 26.08.2015 | | Autor: | bennoman |
Hallo,
X sei B(1,pi) verteilt (Bernoulli verteilt).
Ich soll jetzt den Erwartungswert von [mm] e^X [/mm] berechnen, also [mm] E(e^X).
[/mm]
Leider weiß ich nicht, was ich dann für X einsetzen soll oder wie man hier generell vorgehen soll.
Beste Grüße
Benno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Mi 26.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Benno!
[mm] $Y:=e^X\$ [/mm] ist auch "nur" eine Zufallsvariable. 
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mi 26.08.2015 | | Autor: | bennoman |
Aber wie berechne ich dann von dieser Zufallsvariablen den Erwartungswert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mi 26.08.2015 | | Autor: | bennoman |
Danke!
Ich kenne die Transformationsformel, aber ich weiß nicht wie ich sie hier anwenden soll´.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:45 Do 27.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
>
> Ich kenne die Transformationsformel, aber ich weiß nicht
> wie ich sie hier anwenden soll´.
Die Dichte von X kennst Du und g ist die Exponentialfunktion.
Fred
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Do 27.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
Gegeben: [mm] $X\sim B(1,\pi)$. [/mm] Gesucht: [mm] E(e^X).
[/mm]
Die Zufallsgröße [mm] $g(X):=e^X\$ [/mm] ist (auch) diskret, so dass gilt
[mm] E(g(X))=\sum_{x\in g(X)(\Omega)}g(x)*P(g(X)=x).
[/mm]
Wir setzen [mm] $Y:=g(X)\$ [/mm] und erhalten
[mm] E(Y)=\sum_{y\in Y(\Omega)}y*P(Y=y).
[/mm]
Weiterhin ist
[mm] $Y(\Omega):=\{Y(\omega)\in\IR\mid \omega\in\Omega\}=\{1,e\}$ [/mm] (Warum?),
so dass
[mm] $E(Y)=1*P(Y=1)+e*P(Y=e)=1*P(X=0)+e*P(X=1)=1-\pi+\pi*e$.
[/mm]
Alternativ: Es ist
[mm] $M_X(t):=E(e^{t*X})=1-\pi*t+\pi*e^t$ [/mm] (Momentenerzeugende Funktion),
also erhalten wir für [mm] $t=1\$ [/mm] sofort
[mm] $E(e^X)=1-\pi+\pi*e$.[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:02 Sa 29.08.2015 | | Autor: | HJKweseleit |
> Hallo,
>
> X sei B(1,pi) verteilt (Bernoulli verteilt).
Ich kenne deine Nomenklatur nicht, aber nachdem, was ich kenne, ist diese B(n,p). Das würde bedeuten, dass es nur einen "Münzwurf" mit einer "Erfolgs"-Wahrscheinlichkeit von [mm] \pi [/mm] > 1 gibt......????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Sa 29.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo HJKweseleit!
> > X sei B(1,pi) verteilt (Bernoulli verteilt).
>
> Ich kenne deine Nomenklatur nicht, aber nachdem, was ich
> kenne, ist diese B(n,p).
Richtig. Sie definieren [mm] $\pi:=p$ [/mm] und in diesem Fall ist [mm] $n=1\$, [/mm] also
der Spezialfall der Binomialverteilung, denn damit ergibt sich
die Bernoulli-Verteilung. Es ist
[mm] $B(1,p)\sim\text{Ber}_{p}$.
[/mm]
(Oder nach der Notation oben:
[mm] $B(1,\pi)\sim\text{Ber}_{\pi}$.)
[/mm]
> Das würde bedeuten, dass es nur
> einen "Münzwurf" mit einer "Erfolgs"-Wahrscheinlichkeit
> von [mm]\pi[/mm] > 1 gibt......????
Nein, hier ist nicht die Kreiszahl gemeint.
Gruß
DieAcht
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