Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Do 20.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
| Aufgabe | | Betrachte eine zufällig ausgewählte Gruppe von 100 Studierenden. Sei X die Anzahl der Tage des Jahres (mit 365 Tagen), an denen keiner der Studierenden seinen Geburtstag feiert. Fasse X als eine Zufallsvariable auf und bestimme den Erwartungswert von X. |
Um was für eine Verteilung handelt es sich?
Es gibt ja mindestens 265 Tage, an denen keiner der Studierenden Geburtstag hat. Wie muss ich weiter vorgehen?
Handelt es sich um eine Bernoulli-Verteilung da für jeden Tag nur die Antworten in Frage kommen, dass an dem Tag jemand Geburtstag hat, oder eben nicht? Andererseits können ja auch zwei Personen an einem Tag Geburtstag haben?
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> Betrachte eine zufällig ausgewählte Gruppe von 100
> Studierenden. Sei X die Anzahl der Tage des Jahres (mit
> 365 Tagen), an denen keiner der Studierenden seinen
> Geburtstag feiert. Fasse X als eine Zufallsvariable auf und
> bestimme den Erwartungswert von X.
> Um was für eine Verteilung handelt es sich?
> Es gibt ja mindestens 265 Tage, an denen keiner der
> Studierenden Geburtstag hat. Wie muss ich weiter vorgehen?
> Handelt es sich um eine Bernoulli-Verteilung da für jeden
> Tag nur die Antworten in Frage kommen, dass an dem Tag
> jemand Geburtstag hat, oder eben nicht? Andererseits
> können ja auch zwei Personen an einem Tag Geburtstag
> haben?
Hallo Stef,
da mir (wenigstens bisher) kein exakter Weg zur Lösung eingefallen
ist, wollte ich wenigstens den numerischen Wert ungefähr
ermitteln. Dazu habe ich ein einfaches Simulationsprogrämmchen
geschrieben und mehrmals (mit bis zu 100000 Zufalls-serien)
durchgeführt.
Es zeigte sich, dass der gesuchte Erwartungswert für die
Anzahl der Nicht-Geburtstage offenbar dicht bei 277.4 liegt.
Dies kann dann zur Kontrolle eingehender Lösungen dienen,
die sich auf exakte Überlegungen stützen.
Umgekehrt ausgedrückt, bedeutet das Ergebnis, dass von den
100 Studierenden im Mittel etwa 78 Tage des Jahres als Geburts-
tage "beansprucht werden" , oder: etwa 22 Tage sind solche
Tage, an welchen mehr als ein Geburtstagskind in der Schar ist.
LG , Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Do 20.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stef99!
> Betrachte eine zufällig ausgewählte Gruppe von 100
> Studierenden. Sei X die Anzahl der Tage des Jahres (mit
> 365 Tagen), an denen keiner der Studierenden seinen
> Geburtstag feiert. Fasse X als eine Zufallsvariable auf und
> bestimme den Erwartungswert von X.
(Ich verstehe die Aufgabe so, dass man von 365 Tagen als möglichen Geburtstagen ausgeht und alle diese Tage als gleich wahrscheinlich annimmt. Weiterhin erscheint mir die Annahme zu treffen zu sein, dass die Geburtstage der verschiedenen Studierenden unabhängig voneinander sind.)
> Um was für eine Verteilung handelt es sich?
Du meinst, welche Verteilung die Zufallsgröße X hat?
Ich vermute, die Verteilung von X ist deutlich schwerer zu bestimmen als ihr Erwartungswert.
> Handelt es sich um eine Bernoulli-Verteilung da für jeden
> Tag nur die Antworten in Frage kommen, dass an dem Tag
> jemand Geburtstag hat, oder eben nicht? Andererseits
> können ja auch zwei Personen an einem Tag Geburtstag
> haben?
Die Zufallsgröße X ist sicherlich nicht Bernoulli-verteilt, denn dann würde $X$ fast sicher nur die Werte 0 und 1 annehmen.
Aber führen wir für den i-ten Tag des Jahres (für [mm] $i\in\{1,2,3,\ldots,364,365\}$) [/mm] eine neue Zufallsgröße [mm] $X_i$ [/mm] ein, die den Wert $1$ annimmt, wenn am i-ten Tag niemand der 100 Studierenden Geburtstag hat und den Wert $0$, wenn am i-ten Tag mindestens eine(r) Geburtstag hat.
Da die Zufallsgrößen [mm] $X_i$ [/mm] jeweils nur die Werte 0 und 1 annehmen, sind sie jeweils Bernoulli-verteilt.
> Es gibt ja mindestens 265 Tage, an denen keiner der
> Studierenden Geburtstag hat.
Ja.
> Wie muss ich weiter vorgehen?
Folgende Idee führt zum Ziel:
Mache dir
[mm] $X=\sum_{i=1}^{365}X_i$
[/mm]
klar.
Damit kannst du den Erwartungswert von $X$ auf die Erwartungswerte der [mm] $X_i$ [/mm] zurückführen.
(Die Verteilungen der [mm] $X_i$ [/mm] sind leichter zu bestimmen als die von $X$.)
Viele Grüße
Tobias
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Danke Tobias,
weit von dieser Idee entfernt war ich eigentlich nicht einmal,
aber dass es rechnerisch am Ende so einfach würde, hatte
ich nicht gedacht.
Jedenfalls passt mein Simulationsergebnis blendend zu
deinem Resultat ...
LG , Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 20.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Hm, für mich ist das noch nicht so ganz einleuchtend, was daran liegen kann, dass Summenzeichen bei mir immer für Verwirrung sorgen ;/
Also X ist ja definiert als die Tage, an denen keiner der Studierenden Geburtstag hat. Die Summe summiert dann quasi alle diese Tage auf, an denen keiner Geburtstag hat, ist das so weit richtig?
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> Also X ist ja definiert als die Tage, an denen keiner der
> Studierenden Geburtstag hat. Die Summe summiert dann quasi
> alle diese Tage auf, an denen keiner Geburtstag hat, ist
> das so weit richtig?
Präziser:
X ist die Anzahl der Tage, an denen keiner Geburtstag hat.
X kann man als eine Summe von 365 Summanden verstehen,
wobei jeder einzelne dieser Summanden entweder den Wert 0
oder den Wert 1 hat, nämlich 0, falls an diesem Tag mindestens
ein Geburtstag stattfindet, oder aber 1, falls keiner an diesem
Tag Geburtstag hat:
X = [mm] X_1+X_2+X_3+ [/mm] ..... + [mm] X_{365}
[/mm]
Nun betrachte zum Beispiel einmal die Zufallsvariable [mm] X_{40},
[/mm]
welche für den 40. Tag des Jahres, also für den 9. Februar steht.
Der Erwartungswert [mm] E(X_{40}) [/mm] entspricht dann der Wahrschein-
lichkeit, dass keiner der 100 Studierenden an diesem Tag
Geburtstag hat. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich leicht
berechnen.
Überleg dir dann, wie es mit all den anderen [mm] X_i [/mm] und [mm] E(X_i)
[/mm]
aussieht. Nachher kannst du aus den Erwartungswerten [mm] E(X_i)
[/mm]
auf E(X) schließen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Fr 21.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Naja, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an dem 40. Tag Geburtstag hat, müsste doch [mm] \bruch{100}{365} [/mm] sein, da es an jedem der 365 Tage 100 Studierende gibt, die möglicherweise Geburtstag haben könnten?
Für Tag an dem niemand Geburtstag hat, müsste das [mm] 1-\bruch{100}{365} [/mm] sein. Oder bewege ich mich jetzt auf einem völlig falschen Weg?
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Guten Tag Stef
> Naja, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an dem 40.
> Tag Geburtstag hat, müsste doch [mm]\bruch{100}{365}[/mm] sein, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du solltest genau formulieren, was du mit "eine Person" meinst:
1.) eine beliebige einzelne Person
2.) wenigstens eine der 100 Personen
> da es an jedem der 365 Tage 100 Studierende gibt, die
> möglicherweise Geburtstag haben könnten?
> Für Tag an dem niemand Geburtstag hat, müsste das
> [mm]1-\bruch{100}{365}[/mm] sein. Oder bewege ich mich jetzt auf
> einem völlig falschen Weg?
Ja, das ist falsch oder halt eben "so'n bisschen daneben" 
Ich habe geschrieben:
Der Erwartungswert $ [mm] E(X_{40}) [/mm] $ entspricht dann der Wahrschein-
lichkeit, dass keiner der 100 Studierenden an diesem Tag
Geburtstag hat. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich leicht
berechnen.
... und zwar via Gegenwahrscheinlichkeiten:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Student X nicht am 40. Tag
Geburtstag hat, ist $\ [mm] 1-\frac{1}{365}\ [/mm] =\ [mm] \frac{364}{365}$
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 100 Studierenden
an diesem Tag Geburtstag hat, ist dann (wegen der vorausgesetzten
Unabhängigkeit) gleich [mm] $\left(\frac{364}{365}\right)^{100}$
[/mm]
Rechne nach und vergleiche das mit deinem vermuteten Ergebnis !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Fr 21.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Alles klar, danke! :) Da hatte ich wohl irgendwie einen großen Denkfehler!
Dann müsste die Lösung einfach [mm] (\bruch{364}{365})^{100} [/mm] * 365 sein?!
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> Alles klar, danke! :) Da hatte ich wohl irgendwie einen
> großen Denkfehler!
> Dann müsste die Lösung einfach [mm](\bruch{364}{365})^{100}\ *\ 365[/mm] sein?!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Genau. Numerisch ergibt das dann den Wert 277.4 Tage,
den ich schon aus der Simulation hatte.
LG , Al-Chw.
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