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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:30 Mi 03.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Reaktion nicht mehr notwendig.
| Aufgabe | Sei $X : [mm] \Omega\to\mathbb{R}$ [/mm] eine Zufallsvariable. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(i) Es gilt die Abschätzung $|E[X]| [mm] \leq [/mm] E[|X|]$.
(ii) Für [mm] $c\in\mathbb{R}$ [/mm] ist $E[cX]=cE[X]$. Führen Sie die Aussage mittels Approximation auf die analoge Aussage für diskrete Zufallsvariablen zurück. |
Hi,
ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe.
Die I) ist denke ich mal so einfach wie ich denke...
Das folgt doch einfach aus der Abschätzung für Integrale, dass
[mm] $|\int f(x)\, dx|\leq \int |f(x)|\, [/mm] dx$
denn für reelle Zufallsvariablen gilt ja
[mm] $E[X]=\int_{\mathbb{R}} f(x)\, [/mm] dx$
Und nun folgt die Abschätzung einfach aus der bekannten für Integrale. Richtig?
zu II)
Wie in der Aufgabe steht haben wir diese Aussage für diskrete Zufallsvariablen bereits bewiesen.
Leider verstehe ich nicht so ganz wie ich hier nun mit einer Approximation voran komme. Wir haben
[mm] $E[X]=\lim_{n\to\infty} E[X^n]$ [/mm] wobei [mm] $X^n$ [/mm] diskrete Zufallsvariablen sind mit
[mm] $X^n:\Omega\to\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $X(\omega):=max(\frac{1}{n}\mathbb{Z}\cap[-\infty,X(\omega)]$
[/mm]
Aber damit weiß ich nicht so recht umzugehen.
Kann ich es einfach so machen:
[mm] $\underbrace{E[cX]}_{\text{reelle ZV}}=\lim_{n\to\infty} \underbrace{E[cX^n]}_{\text{diskrete ZV}}=c\lim_{n\to\infty}E[X^n]$
[/mm]
Hier nutze ich aus, dass wir die Aussage schon für diskrete ZV bewiesen haben, und Konstanten kann ich ja vor den Limes ziehen.
[mm] $=c\underbrace{E[X]}_{\text{reelle ZV}}$
[/mm]
Ist die Aufgabe so "trivial" wie ich denke?
Danke fürs drüberschauen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Do 04.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Hätte hier jemand eine Anmerkung für mich? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Fr 05.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Wirklich niemand, der etwas dazu sagen kann? :(
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 06.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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