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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:53 So 23.11.2014 | | Autor: | Timos21 |
| Aufgabe | | Bestimme den Erwartungswert der Poisson-Verteilung auf formale Weise |
Hi,
die Poissonverteilung ist: [mm] P\left( x \right) [/mm] = [mm] \frac{{e^{ - \lambda } \lambda ^x }}{{x!}}
[/mm]
Nun soll der Erwartungswert bestimmt werden: [mm] \mu=\integral_{0}^{\infty}P\left( x \right) [/mm] x = [mm] \integral_{0}^{\infty} \frac{{e^{ - \lambda } \lambda ^x }}{{x!}} x=\integral_{0}^{\infty} \frac{{e^{ - \lambda } \lambda ^x }}{{(x-1)!}}=\integral_{0}^{\infty} \frac{{e^{ - \lambda } \lambda ^x }}{{\Gamma \left( x \right) }} [/mm] dx
Weiter komme ich leider nicht.. eine partielle Integration müsste, denke ich, nun durchgeführt werden, aber wie genau wird hier die Gamma-Funktion integriert/abgeleitet? Geht das Ganze nicht irgendwie einfacher?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 23.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung,
so dass für die diskrete reelle Zufallsvariable [mm] $X\sim P_{\lambda}$ [/mm] mit [mm] \lambda>0 [/mm] gilt:
[mm] \mu=\sum_{k=0}^{\infty}k*\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}=\lambda*e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda*e^{-\lambda}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{\lambda^{l}}{l!}=\lambda.
[/mm]
Nach dem Essen gucke ich mir das mit der Gammafunktion an.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 So 23.11.2014 | | Autor: | Timos21 |
Danke.. habe völlig übersehen, dass es sich hier um eine diskrete ZV und keine stetige ZV handelt.. hat sich somit erledigt.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 So 23.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Okay, aber es hält dich nichts davon ab den Erwartungswert mit
der Definition durchzurechnen. Hier ist es allerdings ziemlich
einfach, denn [mm] $X\$ [/mm] ist diskret und somit ein "Spezialfall", den
wir ganz einfach, siehe andere Mitteilung, behandeln können.
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