Erwartungsw. neg. Binomialver. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung P[X=k] [mm] \vektor{k-1 \\ r-1} (1-p)^{k-r} p^r [/mm] Dabei ist k = r, r+1, r+2, ...
Berechnen Sie E[X]. |
Hallo zusammen,
ich war bislang "stiller" Mitleser im Forum, bin aber jetzt ganz offiziell mit dabei und habe direkt eine Frage. Wir haben die neg. Binomalverteilung wie folgt definiert: [mm] \mathcal{P} [/mm] [X = k] [mm] \vektor{k-1 \\ r-1} (1-p)^{k-r} p^r [/mm] Dabei ist k = r, r+1, r+2, ...
Nach meinem Verständnis ist also k die Anzahl Versuche bis zum Erreichen von r Erfolgen und p die Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch.
Also muss ich zur Ermittlung des Erwartungswerts die Summe über alle Versuche k multipliziert mit der jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeit p berechnen, also:
E[X] = [mm] \summe_{k=r}^{\infty} [/mm] k * [mm] \vektor{k-1 \\ r-1} (1-p)^{k-r} p^r
[/mm]
= [mm] \summe_{k=r}^{\infty} [/mm] k * [mm] \bruch{(k-1)!}{(r-1)!((k-1)-(r-1))!} (1-p)^{k-r} p^r
[/mm]
= [mm] \summe_{k=r}^{\infty} \bruch{k!}{(r-1)!(k-r)!} (1-p)^{k-r} p^r
[/mm]
Nur hier sehe ich vor lauter Summen und rechnen den nächsten Schritt nicht. Kann mir jemand zeigen, wie es weitergeht? Oder bin ich schon auf dem Holzweg?
Danke und Grüße
Mathetest
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wir haben die neg. Binomalverteilung wie folgt definiert:
> [mm] $\mathcal{P} [/mm] [X = k]\ =\ [mm] \vektor{k-1 \\ r-1} (1-p)^{k-r} p^r$ [/mm]
> Dabei ist k = r, r+1, r+2, ...
> Berechnen Sie E[X].
> Nach meinem Verständnis ist also k die Anzahl Versuche bis
> zum Erreichen von r Erfolgen und p die
> Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch.
>
> Also muss ich zur Ermittlung des Erwartungswerts die Summe
> über alle Versuche k multipliziert mit der jeweiligen
> Eintrittswahrscheinlichkeit p berechnen, also:
>
> E[X] = [mm]\summe_{k=r}^{\infty}[/mm] k * [mm]\vektor{k-1 \\ r-1} (1-p)^{k-r} p^r[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=r}^{\infty}\ k*\,\bruch{(k-1)!}{(r-1)!((k-1)-(r-1))!} (1-p)^{k-r} p^r[/mm]
>
> [mm]\ =\ \summe_{k=r}^{\infty} \bruch{k!}{(r-1)!(k-r)!} (1-p)^{k-r} p^r[/mm]
>
> Nur hier sehe ich vor lauter Summen und rechnen den
> nächsten Schritt nicht. Kann mir jemand zeigen, wie es
> weitergeht? Oder bin ich schon auf dem Holzweg?
>
> Danke und Grüße
Hallo Mathetest,
so weit scheint jedenfalls alles in Ordnung zu sein. Außerdem
ist ja das zu erreichende Ergebnis verlockend einfach.
Deine letzte Summe kann man jedenfalls durch Herausziehen
der nicht von k abhängigen Faktoren und durch die Substitutionen
i:=k-r und q:=1-p erheblich einfacher schreiben. Der richtig
zündende Funke hat sich mir bis jetzt aber auch noch nicht
gezeigt ...
... aber ich habe doch noch ein Stichwort für einen möglichen
Lösungsweg: erzeugende Funktion !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mo 24.10.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Mathetest ,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Kannst du etwas mit dem Begriff der momenterzeugenden Funktion
[mm] $m(t)=\text{E}[\exp(tX)]= \summe_{k=r}^{\infty} \exp(tk) \vektor{k-1 \\ r-1} (1-p)^{k-r} p^r [/mm] $
anfangen? Schau auf Seite 102 nach in
@BOOK{Mood74,
title = {Introduction to the Theory of Statistics},
publisher = {Mc-Graw-Hill},
year = {1974},
author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
edition = {3. edition}
}
vg Luis
PS: Vielleicht kannst du hier Honig saugen.
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