Erwart.wert. stoch. unabh. var < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 So 03.06.2007 | | Autor: | Rahul_N |
| Aufgabe | [mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n} [/mm] seien identisch verteilte Zufallsvariablen, deren gemeinsame Dichte in das Produkt der Marginaldichten faktorisiert, d.h.
[mm] f_{X_1,...,X_n} (x_1,...,x_n) [/mm] = [mm] f_{X_1}*...*f_{X_n}(x_n)
[/mm]
(Stochastische Unabhängigkeit) Zeigen Sie, dass dann gilt:
[mm] E(\frac{X_{1}}{X_{1}+...+X{n}}) [/mm] = 1/n
viele Dank schonmal... |
Hallo allebeisamen
Oben steht die Frage und ich wäre euch echt dankbar, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. Ich sitze schon seid ein Paar Stunden daran ohne weiterzukommen.
[mm] E(\frac{X_1}{(X_1+....X_n)}) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{x_1}{(x_1+....x_n)}f(x_1) * ... f(x_n) dx_1 .... dx_n}
[/mm]
leider kann ich den Bruch nicht so vereinfachen dass es ein Produkt oder Summe aus unabhängigen Zufallsvariablen wird. Das problem ist, dass im Nenner auch ein [mm] x_1 [/mm] steht....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mo 04.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Rahul,
damit du mit der Berechnung des Erwartungswertes keine Schwierigkeit
hast, solltest du noch annehmen, dass alle Zufallsvariablen [mm] $X_i$ [/mm] Werte
$>0$ annehmen (mit Wahrscheinlichkeit 1).
Vorbetrachtung: Fuer alle $i,j$ besitzen [mm] $X_i/(X_1+...+X_n)$ [/mm] und
[mm] $X_j/(X_1+...+X_n)$ [/mm] dieselbe Verteilung, denn es ist
[mm] $X_i/(X_1+...+X_n)=1/(1+Y_1+...+Y_{n-1})=Z_i$ [/mm] mit [mm] $Y_k=X_k/X_i$.
[/mm]
Mithin ist die Verteilung von [mm] $Z_i$ [/mm] auf die Summe von $n-1$
unabhaengigen und identisch verteilten Zufallsvariablen
zurueckzufuehren, wobei jeder Summand dieselbe Verteilung wie [mm] $X_1/X_2$
[/mm]
besitzt. Analog hat [mm] $Z_j=X_j/(X_1+...+X_n)$ [/mm] diese Verteilung. Mithin
ist [mm] $\mbox{E}[Z_i]= \mbox{E}[Z_j]$
[/mm]
Wir erhalten so
[mm] \begin{matrix}
1&=&\mbox{E}[(X_1+...+X_n)/(X_1+...+X_n)] \\
&=&\mbox{E}[X_1/(X_1+...+X_n)]+...+\mbox{E}[X_n/(X_1+...+X_n)] \\
&=&n\mbox{E}[X_1/(X_1+...+X_n)]
\end{matrix}
[/mm]
also [mm] $\mbox{E}[X_1/(X_1+...+X_n)]=1/n$.
[/mm]
lg
Luis
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