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Hallo Leute, ich sitze grad an einer Aufgabe und komme nicht weiter! Ich hoffe es kann mir jemand helfen?!
Hier die Aufgabe:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6/6/0) und B(7/1/0) gegeben.
Die Gerade h geht durch den Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] , verläuft orthogonal zur Stecke [mm] \overline{AB} [/mm] und liegt in der x-y-Ebene. Gesucht ist die Gleichung für die Gerade h.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunflower!
Gar keine eigenen Ideen?
Das entspricht nicht so ganz unseren Foren-Regeln ...
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(6/6/0) und B(7/1/0) gegeben.
> Die Gerade h geht durch den Mittelpunkt der Strecke
> [mm]\overline{AB}[/mm] , verläuft orthogonal zur Stecke
> [mm]\overline{AB}[/mm] und liegt in der x-y-Ebene. Gesucht ist die
> Gleichung für die Gerade h.
Die gesuchte Gerade $h$ hat folgende allgemeine Form:
$h \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{p} [/mm] \ + \ [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{q}$
[/mm]
$h \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{p} [/mm] \ + \ [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{q_x \\ q_y \\ q_z}$
[/mm]
Den Stützvektor [mm] $\vec{p}$ [/mm] erhalten wir durch unseren Mittelpunkt $M$ der Strecke [mm] $\overline{AB}$, [/mm] der ja auf dieser Geraden $h$ liegen soll.
Da die Gerade $h$ in der x-y-Ebene liegen soll, kennen wir auch die z-Komponente [mm] $q_z$ [/mm] unseres Richtungsvektors [mm] $\vec{q}$ [/mm] : [mm] $q_z [/mm] \ = \ ...$
Die beiden anderen Komponenten [mm] $q_x$ [/mm] und [mm] $q_y$ [/mm] erhalten wir aus der Info, daß die Gerade $h$ senkrecht zur Strecke [mm] $\overline{AB}$ [/mm] liegen soll.
So, nun versuch' doch mal, diese Tipps umzusetzen und poste hier anschließend Deine Ergebnisse ...
Loddar
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Ich sitze schon über ne Stunde dran und komme nicht weiter! Ich schildere dir mal kurz meinen bisherigen Standpunkt bezüglich der Aufgabe:
Die z-Koordinate ist 0, da h in der x-y-Ebene liegt.
[mm] \overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \vektor{6,5\\ 3,5 \\ 0}
[/mm]
Wenn h senkrecht zur Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] verläuft, muss [mm] \vec{a} \* \vec{b} [/mm] = 0 sein; [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{1\\ -5 \\ 0}.
[/mm]
Ich weiß aber nicht wie ich zu [mm] \vec{b} [/mm] komme????? [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ 0}
[/mm]
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Hallo sunflower,
> Ich sitze schon über ne Stunde dran und komme nicht weiter!
> Ich schildere dir mal kurz meinen bisherigen Standpunkt
> bezüglich der Aufgabe:
> Die z-Koordinate ist 0, da h in der x-y-Ebene liegt.
> [mm]\overrightarrow{OM}[/mm] = [mm]\vektor{6,5\\ 3,5 \\ 0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn h senkrecht zur Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] verläuft, muss
> [mm]\vec{a} \* \vec{b}[/mm] = 0 sein; [mm]\vec{a}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{1\\ -5 \\ 0}[/mm].
Warum dies? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Wenn [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] die Ortsvektoren zu den Punkten A un B sind, werden sie wohl kaum orthogonal sein, oder?
Das meinst du aber auch gar nicht.
h soll orthogonal zur Richtung [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] sein. Probier das mal aus.
>
> Ich weiß aber nicht wie ich zu [mm]\vec{b}[/mm] komme?????
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\ 0}
[/mm]
>
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[mm] \vec{a} [/mm] ist der Richtungsvektor von der Strecke [mm] \overline{AB}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] ist der Richtungsvektor von der gesuchten Gerade h
[mm] \vec{a} \* \vec{b} [/mm] = 0
Liege ich da wirklich falsch? So steht es zumindest bei mir im Mathehefter! :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> [mm]\vec{a}[/mm] ist der Richtungsvektor von der Strecke [mm]\overline{AB}[/mm]
> [mm]\vec{b}[/mm] ist der Richtungsvektor von der gesuchten Gerade h
>
> [mm]\vec{a} \* \vec{b}[/mm] = 0
>
> Liege ich da wirklich falsch? So steht es zumindest bei mir
> im Mathehefter!
So gesehen hast Du wirklich recht!
ABER: die Wahl der Bezeichnungen ist mehr als unglücklich, wenn nicht sogar unvorsichtig bis fahrlässig, da hier ja auch Punkte $A$ und $B$ gegeben sind.
Da ist die Verwechslungsgefahr mit den entsprechenden Ortsvektoren zu diesen Punkten immens hoch.
Ich rate daher DRINGENDST davon ab, solche ähnlichen Bezeichnungen zu wählen.
In meiner ersten Antwort habe ich deshalb auch bewußt meine Bezeichnungen gewählt.
Bitte schreibe das doch auf diese Bezeichnungen um.
Wenn Du Dir diese Mitschriften in 1 Woche mal durchliest, blickst Du garantiert nicht mehr durch ...
Loddar
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Ich habe mir die Bezeichnungen nicht ausgesucht.
Kleine Buchstaben unter einem Vektorpfeil sind Richtungsvektoren z.B. [mm] \vec{a} [/mm] - Richtungsvektor zwischen 2 Punkten, z.B. zwischen den Punkten A und B.
Wenn man einen Ortsvektor zu einen Punkt angibt, schreibt man üblicherweise [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] - Ortsvektor zu dem Punkt A.
Und wenn der Stützvektor gemeint ist, schreibt man [mm] \vec{x} [/mm] mit einer kleinen Null, die untergestellt ist.
So haben wir das gelernt und das steht bei uns auch im Buch so festgeschrieben...
...ich bin zwar nicht die Beste in Mathe, aber die Bezeichungen kann ich eigentlich. Ich hoffe es kann mir noch jemand weiterhelfen, wie ich [mm] \vec{b}, [/mm] also den Richtungsvektor von der Geraden h errechne!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunflower!
Na, dann werden wir mal weitermachen ...
(Auch wenn ich meinen Standpunkt zu den Bezeichnungen nicht geändert habe. Aber wenn Dir das so vorgegeben wurde, ...)
> Wenn h senkrecht zur Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] verläuft, muss
> [mm]\vec{a} \* \vec{b}[/mm] = 0 sein
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{1\\ -5 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\ 0}[/mm]
Das ist doch schon mal alles soweit richtig ...
Du mußt nun also ermitteln:
$0 \ = \ [mm] \vec{a} \* \vec{b}$
[/mm]
Zunächst einfach mal einsetzen:
$0 \ = \ [mm] \vektor{1\\ -5 \\ 0} [/mm] \ * \ [mm] \vektor{x \\ y \\ 0} [/mm] \ = \ ...$
Wie wird denn nun dieses Skalarprodukt (siehe auch  Vektorrechnung) berechnet?
Du darfst Dich letztendlich nicht verwirren lassen, weil es am Ende keine eindeutige Lösung gibt (schließlich gibt es unendlich viele Vektoren, die auf unserem Streckenvektor senkrecht stehen. Sie unterscheiden sich halt nur in Länge und Richtung).
Loddar
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Danke, dass sie mir trotz der Komplikationen weiterhelfen.
Wenn ich 0= [mm] \vektor{1\\ -5 \\ 0} \* \vektor{x \\ y\\ 0} [/mm] ausrechne, komme ich auf: x= 5y, da Vektor [mm] \* [/mm] Vektor eine reelle Zahl ergibt.
Und wie kann ich jetzt den x- und y-Vektor ermitteln?
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Dankeschön, jetzt ist alles klarer und ich kann die Gerade h aufstellen!!! Danke, dass war sehr lieb, dass du mir schon zum 2.Mal geholfen hast und nicht die Geduld verloren hast! Danke....einen schönen Abend noch
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Klar bringt mir das was. Jetzt weiß ich wie ich bei so etwas ran gehen muss und wenn so eine ähnliche Aufgabe in der Prüfung dran kommt, bin ich gewappnet und 2. kann ich jetzt weiterrechnen! Ich hab nämlich grad Ferien und bereite mich auf die Mathe Prüfung vor. Ich übe jeden Tag immer irgendwelche Prüfungsthemen, aber auf Leistungskursniveau, obwohl ich doch nur Grundkurs schreiben will bzw. muss!
Danke
Gute Nacht 
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Stimmt genau!
![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]"){kind=small}
... 
).
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
