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| Aufgabe | Differenzieren Sie:
[mm] (1-x)^{n}(\bruch{x}{1-x})^{pn} [/mm]
nach x |
Es ist mir schon etwas peinlich, da Ableiten eigentlich keine grosse Sache sein sollte, aber ich tu mich echt schwer..
Also für mich sieht das wie eine Produktregel aus, wobei
f: [mm] (1-x)^{n}
[/mm]
[mm] g:(\bruch{x}{1-x})^{pn} [/mm] -> um g abzuleiten müsste man nochmals die Quotientenregel anwenden..
Nun komme ich da aber auf kein brauchbares Resultat.. Der Tipp unseres Dozenten war noch den Logarithmus an der richtigen Stelle anzuwenden... Leider habe ich die sinnvolle Stelle noch nicht entdeckt..
Wäre sehr froh wenn mir jemand helfen könnte.. Vielen Dank im Vorraus
lg Ersti
p.s. ich habe diese Frage in leinem anderen Internetforum publiziert.
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> Differenzieren Sie:
> [mm](1-x)^{n}(\bruch{x}{1-x})^{pn}[/mm]
> nach x
Hallo,
wo ich da den Logarithmus so unterbringen kann, daß er mir wirklich die Sache erleichtert, weiß ich auch nicht.
Ich würde mich aber schleunigstvon dem Quotienten trennen:
[mm] (1-x)^{n}(\bruch{x}{1-x})^{pn}=(1-x)^{n}{x}^{pn}(1-x)^{-pn}
[/mm]
[mm] =(1-x)^{n(1-p)}{x}^{pn}
[/mm]
So find ich's nicht unübersichtlich.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ersti!
Man kann hier auch gerne mit logarithmischen Differenzieren vorgehen. Dabei wendet man zunächst den natürlichen Loagrithmus an und anschließend die  Logarithmusgesetze. Dann erst wird differenziert ...
$y \ = \ [mm] (1-x)^{n}*\left(\bruch{x}{1-x}\right)^{pn} [/mm] \ = \ [mm] (1-x)^{n}*x^{pn}*(1-x)^{-p*n} [/mm] \ = \ [mm] (1-x)^{n-pn}*x^{pn} [/mm] \ = \ [mm] (1-x)^{n*(1-p)}*x^{pn}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[(1-x)^{n*(1-p)}*x^{pn}\right] [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[(1-x)^{n*(1-p)}\right]+\ln\left[x^{pn}\right] [/mm] \ = \ [mm] [n*(1-p)]*\ln(1-x)+pn*\ln(x)$
[/mm]
auf beiden Seiten differenzieren:
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{1}{y}*y' [/mm] \ = \ [mm] [n*(1-p)]*\bruch{1}{1-x}*(-1)+pn*\bruch{1}{x}$
[/mm]
Nun nach $y' \ = \ ...$ aulösen und den Term für $y_$ einsetzen.
Ob das hier allerdings die geschickteste Variante ist ... [kopkratz3] ... ich weiß nicht.
Gruß
Loddar
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