Ermitteln eines Schätzers < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Sa 30.04.2005 | | Autor: | pAt84 |
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe gegeben
Bestimmen Sie mit der Maximum-Likelihood-Methode einen Schätzer für den Parameter [mm] \lambda [/mm] einer exponentialverteilten Zufallsgräße. Schätzen Sie damit aus der folgenden konkreten Stichprobe von 10 als exponentialverteilt vorausgesetzten Meßzeiten (in Minuten).
Ich bin in dem Stoff noch nicht ganz (eigentlich kaum ;) zuhause.
Überlegt habe ich mir folgendes. Nach der Maximum-Likelihood-Methode gilt ja für stetige Zufallsgrößen
[mm]L(x_1,x_2,...,x_n,\vec \theta) = \prod_{i=1}^{n} f_X(x_i;\vec \theta) \rightarrow max [/mm]
praktisch also
[mm]
\ln L(x_1,x_2,...,x_n,\vec \theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f_X(x_i;\vec \theta)
\rightarrow max[/mm]
Im Falle der Exponentialverteilung gilt:
[mm]
f_X(x) = \lambda e^{- \lambda x}
[/mm]
Eingesetzt
[mm]
\ln L(x_1,x_2,...,x_n,\vec \theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \lambda e^{- \lambda x_i} \rightarrow max
[/mm]
also passend umgestellt
[mm]
= \sum_{i=1}^{n} - \lambda x_i \ln \lambda e \rightarrow max
= - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i \ln ({\lambda} +1) \rightarrow max
= - \lambda \ln ({\lambda} +1) \sum_{i=1}^{n} x_i \rightarrow max
[/mm]
Ich weiß, dass [mm]\sum_{i=1}^{n} x_i = 99 [/mm] ist.
Also gilt nun:
[mm]
\ln L(x_1,x_2,...,x_n,\vec \theta) = - \lambda \ln ({\lambda} +1) 99 \rightarrow max[/mm]
Das ganze nun ableiten:
[mm]
\bruch{d}{d \lambda}( - \lambda \ln ({\lambda} +1) 99) = 99 \bruch{d}{d \lambda} - \lambda \ln ({\lambda} +1) = ... = - \ln (\lambda) -2
[/mm]
Und das Maximum suchen:
[mm]
0 = \bruch{dy}{d \lambda} = - \ln (\lambda) -2 \gdw -2 = \ln (\lambda) \gdw \lambda \approx 0,13534
[/mm]
Richtig, Falsch!? Die Aufgabe geht noch weiter: Vergleichen Sie die erhaltene Schätzung mit einer Schätzung nach der Momentenmethode.
Da dachte ich mir ich gehe einerseits von der Theorie
[mm] EX = \bruch{1}{\lambda} [/mm]
und von der Praxis
[mm] EX = \bar x_i = 9,9 [/mm]
nun gleichsetzen und Lambda ausrechnen
[mm]\bruch{1}{\lambda} = 9,9 \gdw \lambda = 0,101010... [/mm]
Würde mich freuen wenn sich das jemand anschauen könnte. Ich bin noch relativ neu in dem Stoffgebiet und finde es ehrlich gesagt alles mehr als verwirrend.
Danke im voraus,
Pat
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Pat!
> Bestimmen Sie mit der Maximum-Likelihood-Methode einen
> Schätzer für den Parameter [mm]\lambda[/mm] einer
> exponentialverteilten Zufallsgräße. Schätzen Sie damit aus
> der folgenden konkreten Stichprobe von 10 als
> exponentialverteilt vorausgesetzten Meßzeiten (in
> Minuten).
>
> Ich bin in dem Stoff noch nicht ganz (eigentlich kaum ;)
> zuhause.
>
> Überlegt habe ich mir folgendes. Nach der
> Maximum-Likelihood-Methode gilt ja für stetige
> Zufallsgrößen
>
> [mm]L(x_1,x_2,...,x_n,\vec \theta) = \prod_{i=1}^{n} f_X(x_i;\vec \theta) \rightarrow max[/mm]
>
> praktisch also
> [mm]
\ln L(x_1,x_2,...,x_n,\vec \theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f_X(x_i;\vec \theta)
\rightarrow max[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Im Falle der Exponentialverteilung gilt:
> [mm]
f_X(x) = \lambda e^{- \lambda x}
[/mm]
> Eingesetzt
> [mm]
\ln L(x_1,x_2,...,x_n,\vec \theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \lambda e^{- \lambda x_i} \rightarrow max
[/mm]
> also passend umgestellt
> [mm]
= \sum_{i=1}^{n} - \lambda x_i \ln \lambda e \rightarrow max[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hm, hier hast Du leider nicht berücksichtigt, dass der Exponent [mm] $-\lambda x_i$ [/mm] nur zur Basis $e$ gehört, und nicht zu [mm] $\lambda [/mm] e$. Ab hier wird es also falsch. Die Vorgehensweise ist aber völlig in Ordnung. Die Funktion, die zu maximieren ist, sollte
[mm] $n\ln(\lambda)- \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i$
[/mm]
lauten.
>[mm]= - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i \ln ({\lambda} +1) \rightarrow max
= - \lambda \ln ({\lambda} +1) \sum_{i=1}^{n} x_i \rightarrow max
[/mm]
>
> Ich weiß, dass [mm]\sum_{i=1}^{n} x_i = 99[/mm] ist.
> Also gilt nun:
> [mm]
\ln L(x_1,x_2,...,x_n,\vec \theta) = - \lambda \ln ({\lambda} +1) 99 \rightarrow max[/mm]
>
> Das ganze nun ableiten:
> [mm]
\bruch{d}{d \lambda}( - \lambda \ln ({\lambda} +1) 99) = 99 \bruch{d}{d \lambda} - \lambda \ln ({\lambda} +1) = ... = - \ln (\lambda) -2
[/mm]
Die Umformungen, die hier mit Pünktchen angedeutet sind, verstehe ich leider nicht. Ist aber auch nicht so wichtig, weil ja schon weiter oben der Fehler liegt.
> Und das Maximum suchen:
> [mm]
0 = \bruch{dy}{d \lambda} = - \ln (\lambda) -2 \gdw -2 = \ln (\lambda) \gdw \lambda \approx 0,13534
[/mm]
>
> Richtig, Falsch!? Die Aufgabe geht noch weiter: Vergleichen
> Sie die erhaltene Schätzung mit einer Schätzung nach der
> Momentenmethode.
>
> Da dachte ich mir ich gehe einerseits von der Theorie
> [mm]EX = \bruch{1}{\lambda}[/mm]
> und von der Praxis
> [mm]EX = \bar x_i = 9,9[/mm]
So solltest Du es vielleicht nicht aufschreiben, denn der Erwartungswert ist ja nicht gleich [mm] $\bar x_i$, [/mm] sondern das arithmetische Mittel ist nur ein Schätzer (!) für den Erwartungswert, aber das Ergebnis ist korrekt:
> nun gleichsetzen und Lambda
> ausrechnen
> [mm]\bruch{1}{\lambda} = 9,9 \gdw \lambda = 0,101010...[/mm]
>
> Würde mich freuen wenn sich das jemand anschauen könnte.
> Ich bin noch relativ neu in dem Stoffgebiet und finde es
> ehrlich gesagt alles mehr als verwirrend.
Frag ruhig, wenn noch was unklar ist.
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 So 01.05.2005 | | Autor: | pAt84 |
huch, wie konnte denn das passieren.
Vielen Dank auf jeden Fall. Soweit ist jetzt erstmal alles klar.
Pat
|
|
|
|
