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Forum "Prozesse und Matrizen" - Erläuterung der Aufgabe
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Erläuterung der Aufgabe: Erläuterung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 So 07.11.2010
Autor: gabi.meire

Hallo Ihr Lieben,

ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe, da ich nicht versehe, warum man was dort macht.
Zunächst einmal die Aufgabenstellung:

DieTelefongesellschaften A-tel, B-tel und C-tel haben den Telefonmarkt erobert und schließen Jahresverträge mit ihren Kunden ab. Fig 2 zeigt, wieviele Kunden anteilsmäßig von Jahr zu Jahr die Gesellschaft wechseln.

A.) Übergangsmatrix bestimmen:

(hierbei hatte ich noch kein Problem, weshalb ich jetzt auch die Zeichnung nihct näher beschreibe) meine Übergangsmatrix lautet

y1       0,6    0,3    0,1            x1
y2 =   0,1    0,8    0,1     *     x2
y3       0,1   0,2    0,7             x3

Bei B.) soll man nun ermitteln:
Am Anfang hat jede Gesellschaft 1/3 aller Kunden unter Vertrag. Wie sieht die Kundenverteilung nach zwei Jahren aus?

Unsere Lehrerin hat uns zu Aufgabenteil b.) gesagt, dass wir einfach die Übergangsmatrix hoch 2 rechnen müssen und das ganze dann mit 1/3 multiplizieren müssen. Leider verstehe ich nicht warum. Könnt ihr mir das vllt erklären?

Ganz liebe Grüße,

Gabi


        
Bezug
Erläuterung der Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 So 07.11.2010
Autor: Zwerglein

Hi, Gabi,

> DieTelefongesellschaften A-tel, B-tel und C-tel haben den
> Telefonmarkt erobert und schließen Jahresverträge mit
> ihren Kunden ab. Fig 2 zeigt, wieviele Kunden
> anteilsmäßig von Jahr zu Jahr die Gesellschaft wechseln.
>
> A.) Übergangsmatrix bestimmen:
>
> (hierbei hatte ich noch kein Problem, weshalb ich jetzt
> auch die Zeichnung nicht näher beschreibe) meine
> Übergangsmatrix lautet
>
> y1 0,6 0,3 0,1 x1
> y2 = 0,1 0,8 0,1 * x2
> y3 0,1 0,2 0,7 x3
>
> Bei B.) soll man nun ermitteln:
> Am Anfang hat jede Gesellschaft 1/3 aller Kunden unter
> Vertrag. Wie sieht die Kundenverteilung nach zwei Jahren
> aus?
>
> Unsere Lehrerin hat uns zu Aufgabenteil b.) gesagt, dass
> wir einfach die Übergangsmatrix hoch 2 rechnen müssen und
> das ganze dann mit 1/3 multiplizieren müssen. Leider
> verstehe ich nicht warum. Könnt ihr mir das vllt
> erklären?

Das Folgende ist Dir aber klar, oder:
Wenn Du die Übergangsmatrix M mit dem (gegebenen) Anlaufvektor [mm] v_{o}= \vektor{1/3 \\1/3 \\1/3} [/mm] multiplizierst, erhältst Du die Verteilung nach 1 Jahr - natürlich in Form eines Vektors [mm] v_{1}. [/mm]
Wenn Du die Übergangsmatrix M mit diesem Vektor multiplizierst, erhältst Du analog die Verteilung nach 2 Jahren: [mm] v_{2} [/mm]

Zusammenfassend:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] M*v_{o} [/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] M*v_{1} [/mm]
oder:
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] M*M*v_{o} [/mm]

Wie Du daraus erkennst, erhältst Du dasselbe Ergebnis, wenn Du erst M*M rechnest und anschließend mit [mm] v_{o} [/mm] multiplizierst!

mfG!
Zwerglein




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