Erkennen vom DGL-Form < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 05.07.2009 | | Autor: | reeky |
Hallo Leute,
wir haben derzeit in Mathe das Lösen von DGL-Gleichungen dran (Allgemeine Lösung).
Ich habe meine Probleme, die dinger zu erkennen.
Folgende kenne ich, aber ich weiß nicht die genaue zuordnung, wie dann so eine gleichung aussehen muss:
- DGL mit getrennen Variablen
- Homohene lineare DGL 1. Ordnung
- Inhomogene DGL 1. Ordnung
- Homogene lineare DGL 2. ordnung mit konstanten Koeffizienten
- Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Ich hab zwar ein Merkblatt den Grundformen und der Berechnung, aber damit komm ich nicht klar.
Ich hab mal das Merkblatt hochgeladen, damit ihr seht, was ich habe.
![[]](/images/popup.gif) Merkblatt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Disap |
> Hallo Leute,
Hi.
> wir haben derzeit in Mathe das Lösen von DGL-Gleichungen
> dran (Allgemeine Lösung).
>
> Ich habe meine Probleme, die dinger zu erkennen.
> Folgende kenne ich, aber ich weiß nicht die genaue
> zuordnung, wie dann so eine gleichung aussehen muss:
> - DGL mit getrennen Variablen
> - Homohene lineare DGL 1. Ordnung
> - Inhomogene DGL 1. Ordnung
> - Homogene lineare DGL 2. ordnung mit konstanten
> Koeffizienten
>
> Ich hab zwar ein Merkblatt den Grundformen und der
> Berechnung, aber damit komm ich nicht klar.
> Ich hab mal das Merkblatt hochgeladen, damit ihr seht, was
> ich habe.
> Merkblatt
Sehr gut, dass du das mit hochgeladen hast!
Also dein Problem ist nur, zu gucken, um welchen Fall es sich handelt?
Fangen wir mal mit dem vorletzten an
Homogene lineare DGL 2. ordnung mit konstanten Koeffizienten
Da steht auf deinem Zettel y''+ay'+by = 0 und a, b sind aus [mm] \IR.
[/mm]
Da steht eigentlich schon, welche Form das hat. Du kannst a und b beliebig aus den reellen Zahlen wählen, also z. B.
y''+5.3123y'-0.1295y = 0
oder auch
y''-9y'+3.3335y = 0
Mehr ist da nicht zu holen. Du suchst gerade das y, das die Gleichung erfüllt, und da musst du halt dein Kochrezept drauf anwenden.
Allerdings könnte es sein, dass statt y bei dir in der Aufgabe f steht oder g, also
f''+af'+bf = 0
Das wäre dann das gleiche, und bleibt immernoch dieselbe Fertigformel anzuwenden.
Was weiterhin passieren könnte, ist dass du vor dem y'' noch einen Faktor c stehen hast
cy''+ay'+by = 0
Dann musst du durch c dividieren, um auf deine gewünschte Form zu kommen
y''+a/c * y' + b/c * y =0
Letzter Fall:
> - Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten
Tja, auf deinem Merkblatt steht da
y''+ay'+by = f(x).
In dem Fall musst du (steht auf deinem Zettel) eh erst einmal den homogenen Fall betrachten
y''+ay'+by = 0
So, wie könnte jetzt dein f(x) aussehen? Na das ist einfach eine Funktion, z. B.
y''+ay'+by = sin(x)
oder auch
y''+ay'+by = [mm] sin(x)+x^3-e^x
[/mm]
(Das muss jetzt nicht unbedingt lösbar sein, du sollst nur sehen, dass auf der rechten Seite eine BELIEBIGE Funktion in Abhängigkeit von x steht. Das kann auch ein normales Polynom wie [mm] x^2+x [/mm] sein)
Und so auch bei
> - DGL mit getrennen Variablen
y'=g(x)h(y)
Da kann auf der rechten Seite z. B. stehen x*y
Dann hast du also y' = x*y
es könnte auch komplizierter sein und du hast da
y' = [mm] x^3*(y^2+y)
[/mm]
Wird sau schwer zu lösen...
Bei der nächsten
> - Homohene lineare DGL 1. Ordnung
hast du auf der Seite einen Spezialfall, da kann [mm] y^2 [/mm] nicht mehr auftauchen, sondern nur noch etwas wie
y' = [mm] (x^3+x-sin(x) [/mm] )*y
Dementsprechend habe ich oben, wo ich geschrieben habe
Dann hast du also y' = x*y
also schon diesen Spezialfall genannt. Beide Lösungsansätze sollten zum Ziel führen.
Und bei
> - Inhomogene DGL 1. Ordnung
steht auf der rechten Seite noch eine beliebige Funktion/Polynom, das nicht von y abhängt, also z. b.
y' = [mm] (x^3+x-sin(x) [/mm] )*y + 27x [mm] -e^x
[/mm]
Hast du jetzt verstanden, dass das g(x), h(x) etc. nur Polynome oder Funktionen sind?
WEnn nicht, frag ruhig noch mal nach!
MfG
Disap
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