Erhaltungsgröße, erstes Integr < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Mo 18.09.2006 | | Autor: | stevib |
Hallo ihr lieben Forenmitglieder!
Für ein Seminar an der Uni muss ich für die folgende Differentialgleichung eine Erhaltungsgröße ( ein erstes Integral) bestimmen.
| Aufgabe 1 | | [mm] x ' ' = x - x^2 [/mm] |
Mein Problem ist nun, dass ich das erste Integral nur im eindimensionalen Fall kenne. Dort ist es eine Funktion G, für die gilt:
| Aufgabe 2 | | [mm] \bruch{dG}{dy} =l [/mm] und [mm] \bruch{dG}{dt} = b [/mm] wobei [mm] l(t,y)*\dot y + b(t,y) = 0 [/mm] gilt |
Dadurch, dass hier eine zweite Ableitung steht, kann ich mit der Gleichung gar nichts anfangen. Habs probiert als System zu schreiben... ohne Erfolg.
Als Hinweis ist desweiteren noch gegeben, dass man zum Finden einer Erhaltungsgröße die mit x' multiplizierte Gleichung betrachten kann.
Ich hoffe, dass ich mein Problem einigermaßen verständlich schildern konnte und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Beste Grüße,
Stevib
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ICh erinnere mich schwach an die Sache mit dem ersten Integral, allerdings nicht genug, um dir bis zum Schluß weiterzuhelfen. Aber zumindest ein wenig:
Du möchtest also die gegebene Gleichung in eine DGL 1. Ordnung überführen?
Das Multiplizieren mit der ersten Ableitung führt zu:
$ x'x ' ' = x'x - [mm] x'x^2 [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{2}((x')^2)'=\bruch{1}{2}(x^2)'-\bruch{1}{3}(x^3)'$
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{2}((x')^2)'=\left(\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{3}x^3\right)'$
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{2}(x')^2=\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{3}x^3$
[/mm]
Das ist fast schon die explizite Form einer DGL 1. Ordnung. Hilft dir das weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Di 19.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du an die Lösung von Horizont noch beim Integrieren, die Integrationskonstante C dazutust, die er vergessen hat steht da der schöne Erhaltungssatz :
$1/2*x'^2 [mm] +1/3*x^3-1/2*x^2=C$
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Di 19.09.2006 | | Autor: | stevib |
Servus, ihr beiden!
Ihr seid ja schneller als die Polizei erlaubt!
Vielen Dank, habt mir sehr weitergeholfen. Werd mich jetzt dann mal auf die Suche nach dem Erhaltungssatz machen und dann denk ich, wirds funktionieren.
BG
Stevib
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