Ergänze zu einer Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 18.11.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Ergänzen Sie [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4&0 } \pmat{1&1&0\\0&-2&4} \pmat{0&0&1\\0&0&2}
[/mm]
zu einer Basis von R^(2,3) |
Ich habe keine Ahnung wie ich überhaupt anfangen soll...
Also ich muss jetzt auch eine Matrix(???) finden, durch die sich mit Linearkombination die drei Matrizen darstellen lassen????
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Hallo sissenge,
> Ergänzen Sie [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4&0 } \pmat{1&1&0\\0&-2&4} \pmat{0&0&1\\0&0&2}[/mm]
>
> zu einer Basis von R^(2,3)
> Ich habe keine Ahnung wie ich überhaupt anfangen soll...
> Also ich muss jetzt auch eine Matrix(???) finden, durch
> die sich mit Linearkombination die drei Matrizen darstellen
> lassen????
Finde heraus, welche der Matrizen
[mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}, \ \pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}, \ \pmat{0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}, \ \pmat{0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0}, \ \pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}, \ \pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
sich durch die gegebenen Matrizen darstellen lassen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Fr 19.11.2010 | | Autor: | sissenge |
nur [mm] \pmat{0&0&0\\0&4&0} [/mm] = 4* [mm] \pmat{0&0&0\\0&1&0}
[/mm]
Oder???
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> nur [mm]\pmat{0&0&0\\
0&4&0}[/mm] = 4* [mm]\pmat{0&0&0\\
0&1&0}[/mm]
>
> Oder???
Hallo,
ja.
Gruß v. Angela
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> Ergänzen Sie [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 4&0 } \pmat{1&1&0\\
0&-2&4} \pmat{0&0&1\\
0&0&2}[/mm]
>
> zu einer Basis von R^(2,3)
> Ich habe keine Ahnung wie ich überhaupt anfangen soll...
> Also ich muss jetzt auch eine Matrix(???) finden, durch
> die sich mit Linearkombination die drei Matrizen darstellen
> lassen????
Hallo,
der [mm] \IR^{2,3} [/mm] ist ein VR der Dimension 6.
Die obigen drei Matrizen sind offensichtlich linear unabhängig.
Du mußt nun drei Matrizen finden, mit denen Du sie zu einer Basis des [mm] \IR^{2,3} [/mm] ergänzen kannst.
Die Vektoren Deines Vektorraumes sind nun ja Matrizen.
Ihre lineare unabhängigkeit überprüfst Du, indem Du feststellst, ob die triviale Linearkombination die einzige ist, mit welcher Du die Nullmatrix erzeugen kannst.
Fürs weitere Vorgehen gibt es mehrere Möglichkeiten, ich nenne zwei:
MathePower hatte Dir eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] gezeigt.
Der Basisaustauschsatz/Basisergänzungssatz garantiert Dir, daß Du in dieser Menge drei Vektoren findest, mit denen Du Deine 3 zu einer Basis ergänzen kannst.
Probiere also, ob Du 3 Vektoren findest, so daß die 6 Vektoren am Ende linear unabhängig sind.
Du kannst auch die gegebenen Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl MathePowers Basis schreiben, als Zeilen in eine matrix legen, welche Du auf ZSF bringst. Dann siehst Du leicht, mit welchen Einheitsvektoren Du ergänzen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 24.11.2010 | | Autor: | sissenge |
ok... also 1. was ist die triviale Linearkombination?? 1.Matrize mal 2.Matrize mal 3.Matrize???
Und dann was meinst du mir :"gegebenen Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl MathePowers Basis schreiben"
Heißt das ich schreibe die Matrizen alle "übereinander" und bringe sie dann auf ZSF.
Was ist dann mein Einheitsvektor??
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> ok... also 1. was ist die triviale Linearkombination??
> 1.Matrize mal 2.Matrize mal 3.Matrize???
Hallo,
das Ding heißt "Matrix".
Eine Matrix, viele Matrizen.
Eine Matrize ist was völlig anderes.
Mannomann, was ein Vektorraum ist, weißt Du? Und was eine Linearkombination ist?
Es geht hier um endliche Linearkombinationen der gestalt
[mm] r_1M_1+r_2M_2+...r_nM_n=0_{\IR^{2,3}}, [/mm] wobei die [mm] r_i [/mm] reelle Zahlen sind und die [mm] M_i [/mm] Matrizen aus V.
Die triviale Linearkombination ist die, bei der der Nullvektor mit [mm] r_1=...=r_n=0 [/mm] erzeugt wird.
>
> Und dann was meinst du mir :"gegebenen Vektoren als
> Koordinatenvektoren bzgl MathePowers Basis schreiben"
Deiner Frage entnehme ich, daß Koordinatenvektoren noch nicht dran waren bei Euch. Vergiß diesen Weg und mach es wie im 1. Weg vorgeschlagen.
Versuche also, Deine Matrizen zu einer linear unabhängigen Menge mit 6 Elementen zu ergänzen.
Gruß v. Angela
> Heißt das ich schreibe die Matrizen alle "übereinander"
> und bringe sie dann auf ZSF.
>
> Was ist dann mein Einheitsvektor??
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