Ereignisse,W´keiten. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei (Omega, sigma-Algebra, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) Für [mm] A_{1},A_{2}... \in [/mm] sigma-Algebra mit [mm] P(A_{i})=1 [/mm] für alle i [mm] \in \IN [/mm] folgt [mm] P(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i})=1.
[/mm]
(ii) Sei [mm] A_{1},A_{2},... [/mm] eine paarweise disjunkte Folge in sigma-Algebra, dann sind die Ereignisse [mm] A_{1},A_{2},... [/mm] auch paarweise unabhängig.
(iii) Seien X,Y diskrete ZV´ en auf dem W´keitsraum. Es gilt:
X,Y iid [mm] \Rightarrow [/mm] P({X=Y})=0
(iv) Sei sigma Algebra die Potenzmenge der reellen Zahlen, dann gilt
Die Menge A={w [mm] \in \IR:P({w})>0}ist [/mm] höchstens abzählbar. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu (i):
Wenn ich weiß, dass ein Ereignis auf jeden Fall eintritt, dann kann man die W´keit [mm] P(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}) [/mm] als eine bedingte W´keit betrachten , nämlich [mm] P(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}|A_{i}) [/mm] und diese dann ausrechnen.
Oder geht es anders?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
die Umformung würde zwar klappen, ist aber recht merkwürdig. 
Versuche mal die Menge [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i} [/mm] durch die Sigmaalgebraeigenschaften mittels der Komplemente [mm] \overline{A_i} [/mm] zu beschreiben. (Was ist [mm] \overline{A_i} [/mm] ?)
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Kann man also (i) mit der von mir vorgeschlagenen Vorgehensweise beweisen?
Was meinst Du mit "würde klappen aber recht merkwürdig".
Merkwürdig , weil das keine gewöhnliche Vorgehensweise ist?
Jedoch , wenn die Argumentation passt, dann ist das ein recht schneller Weg das zu beweisen.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Fr 25.04.2008 | | Autor: | konvex |
also, ich beschränke das mal auf ein A:
die ereignisse sind doch auch unabhängig, P(A)=1
P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)+P(B)-P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(B) = 1*P(B) =P(A)P(B)
musst nur an stelle von B die restlichen [mm] A_{i} [/mm] setzen ?!
oder irre ich mich da jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Mit dem merkwürdig meine ich, dass es sehr wahrscheinlich vom Fragesteller nicht so gemeint war.
Du verfehlst somit den gewünschten didaktischen Effekt.
Das gesuchte dürfte etwa so aussehen:
[mm] \Omega=A_i\cup \overline{A_i} [/mm] , wobei [mm] 1=P(A_i)=P(\Omega /\overline{A_i})=P(\Omega)-P(\overline{A_i})=1-P(\overline{A_i})
[/mm]
[mm] \overline{A_i} [/mm] sind also Nullmengen.
[mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}= \Omega [/mm] / ...
und daher
[mm] P(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i})=P(\Omega [/mm] / [mm] ...)\ge P(\Omega)- [/mm] ...
Ciao.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:00 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Die Pünktchen habe ich durch [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}\overline{A_{i}} [/mm] ersetzt.
Was ist die Wahrscheinlichkeit von [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}\overline{A_{i}}?
[/mm]
Warum steht [mm] \ge [/mm] und nicht gleich in der letzten Zeile?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
ach ja, ich kann hier sigma-Subadditivität benutzen und dann bekommt man als Ergebnis gleich 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 28.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
bei (ii) habe ich ein Beispiel gefunden von einer paarweise disjunkten Folge : Zufallseperiment Würfelwurf oder ähnliches (mit einer Folge von natürlichen Zahlen)
Die Mengen(die Zahlen) sind paarweise disjunkt und daraus folgt nicht , dass P(A [mm] \cap B)=P(\emptyset)=0 \not= [/mm] P(A)P(B)= [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}.
[/mm]
Stimmt das ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 27.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Ja, stimmt.
Was folgerst du daraus ?
Ciao.
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