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Die Anzahl der Ereignisse eines Poisson Prozesses ist zur Länge des Zeitintervalls proportional. d.h. je kürzer der Zeitraum desto weniger Ereignisse sind zu erwarten. Bei einem "sehr kurzen" Zeitraum ist die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Ereignisse zu beobachten gleich 0. Diese Aussage "sehr kurzer Zeitraum" ist keine mathematisch exakte (trotzdem wird sie in der Literatur oft verwendet.Manchmal findet man dieses "sehr kurz"auch in der Form beschrieben:
P(X > 1) = o(h) mit [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{o(h)}{h}=0
[/mm]
Wieso und wie kommt dieses o(h) ins Spiel?
Ich glaube irgendwo gelesen zu haben, dass das mit der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion zu tun hat.
Kann mir das jemand bitte erklären oder mir Tipps über Literatur geben woraus und wie man dieses P (X > 1) = o(h) ableitet?
Ich bin dankbar für Hilfe und habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Okay, erst einmal mit Hilfe der Taylorreihe der Exponentialfunktion, wie von dir gewünscht:
Es gilt ja, wenn $X$ ein normaler Poisson-Prozess mit Intensität [mm] $\lambda$ [/mm] ist:
[mm] $P(X_h>1) [/mm] = 1 - [mm] P(X_h \le [/mm] 1)$
$= 1 - [mm] e^{-\lambda h} \cdot (1+\lambda [/mm] h)$
$= [mm] e^{-\lambda h} \cdot (e^{\lambda h} [/mm] - 1 - [mm] \lambda [/mm] h)$
[mm] $=e^{-\lambda h} \cdot \left( \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{\lambda^ih^i}{i!} - 1 - \lambda h \right)$
[/mm]
[mm] $=e^{-\lambda h} \cdot \left( \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{\lambda^i h^i}{i!} \right)$,
[/mm]
und daher:
[mm] $\lim\limits_{h \downarrow 0} \frac{P(X_h>1)}{h} [/mm] = [mm] \lim\limits_{h \downarrow 0}\left[ \frac{e^{-\lambda h} \cdot \left( \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{\lambda^i h^i}{i!} \right)}{h} \right] [/mm] = [mm] \lim\limits_{h \downarrow 0} \left[ e^{-\lambda h} \lambda \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{\lambda^i h^i}{i!} \right] [/mm] = 0$.
Alternativ (und natürlich einfacher) kann man sich natürlich auch mit der Regel von de l'Hospital überlegen, dass
[mm] $\lim\limits_{h \downarrow 0} \frac{1-e^{-\lambda h} - \lambda h e^{-\lambda h}}{h}=0$
[/mm]
gilt.
Viele Grüße
Stefan
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