Epsilon Delta Verfahren < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 11.03.2014 | | Autor: | bombom |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit der [mm] (\epsilon, \delta)- [/mm] Definition,dass die durch
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{e^-^x^3*sin(x^3)}
{x*arsinh(|x|^\bruch{3}{4})}, & x\ne0\\
0, & x=0
\end{matrix}\right.
[/mm]
gegebene Funktion f im Nullpunkt stetig ist. |
wie schätze ich die Funktionen richtig ab?
mein Ansatz erstmal Betragsstriche Verteilen:
[mm] |f(x)-f(0)|=\bruch{|e^-^x^3|*|sin(x³)|} {|x|*|arsinh(|x|^\bruch{3}{4})|}\le\bruch{|e^-^x^3|*|x|^3} {|x|*|arsinh(|x|^\bruch{3}{4})|}
[/mm]
sin|x| habe ich hier mit dem Argument abgeschätzt da
sin(x)< x
wenn ich das richtig verstanden habe. Ich weiß nun nicht wie ich den rest abschätzen kann. Ich habs selbst versucht aber es hat nicht geklappt weil ich nicht weiss, wie ich mit der e-Funktion und dem arsinh umgehen soll. Der Prof hat in der Musterlösung den Mittelwertsatz benutzt für arsinh und benutzt:
[mm] arsinhy\ge\bruch{1}{\wurzel{2}}*y
[/mm]
Danke schonmal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 11.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wie kommst du von sin(x) auf [mm] x^3?
[/mm]
warum nimmst du nicht die Abschätzung aus der Vorlesung, odr die Tangente in 0 liegt immer oberhalb arsinh(x), jede Sehne unterhalb.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Di 11.03.2014 | | Autor: | bombom |
Entschuldigung da gehört [mm] sin(x^3) [/mm] hin ich ändere das sofort. Der Pc hatte das nicht übernommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Di 11.03.2014 | | Autor: | bombom |
Achja, und in den Vorlesungen haben wir nie diese Art von Funktionen besprochen oder abgeschätzt. Hab auch schon überall im Internet gesucht :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Di 11.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Achja, und in den Vorlesungen haben wir nie diese Art von
> Funktionen besprochen oder abgeschätzt. Hab auch schon
> überall im Internet gesucht :(
Es gilt:
[mm] $|\sin(x^3)|\le [/mm] 1$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Mi 12.03.2014 | | Autor: | bombom |
Wieso wurde in der Musterlösung dann mit [mm] |x^3| [/mm] abgeschätzt und wie muss ich die anderen beiden Funktionen abschätzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mi 12.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich schlage eine strategische Planung vor.
Du willst einen Bruch abschätzen, so dass Du am Ende einen einfachen Ausdruck hast, der von x abhängt und von dem Du weißt, dass er sicher größer als der Bruch ist.
Zur Abschätzung des Zählers muss ein größerer Ausdruck verwendet werden, zur Abschätzung des Nenners ein kleinerer.
Die Sache ist misslungen, wenn am Ende nur noch ein x im Nenner steht.
Also ist es günstig, wenn beim Abschätzen auch möglichst oft das x gekürzt werden kann.
Du hast schon einiges da stehen, vervollständige:
Schätze [mm] $e^{-x^3}$ [/mm] nach oben ab.
Schätze ruhig [mm] $\sin(x^3)$ [/mm] mit [mm] $x^3$ [/mm] nach oben ab.
Bei der Abschätzung für den arsinh musst Du auf den Zusammenhang achten. Stimmt die Situation mit der aus der Vorlesung überein? Ich glaube nicht.Schau Dir den Funktionsgraphen an, noch besser die Ableitungsfunktion, dann bekommst Du eine Idee.
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