Epsilon-Umgebung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:56 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe 1 | Seien x, [mm] x_0, [/mm] y, [mm] y_0 \in \IR, [/mm] und sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgegeben. Beweisen Sie:
Wenn [mm]|x - x_0| < \bruch{\varepsilon}{2}[/mm] und [mm]|y - y_0| < \bruch{\varepsilon}{2}[/mm], dann gilt [mm]|x + y - (x_0 - y_0)| < \varepsilon[/mm]. |
| Aufgabe 2 | | Wenn [mm]|x - x_0| < min(1,\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)})[/mm] und [mm]|y - y_0| < \bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)}[/mm], dann gilt [mm]|xy - x_0y_0| < \varepsilon[/mm]. |
| Aufgabe 3 | | Ist [mm]y_0\not=0[/mm], und ist [mm]|y-y_0| |
Hallo,
wie bekomme ich die Ungleichungen so umgeformt, dass [mm] \varepsilon [/mm] in der Ungleichung herauskommt? Benötige ich die Dreiecksungleichung oder wie bekomme ich die einzelnen Beträge in einen Betrag zusammen?
Vielen Dank für einen Ansatz,
Gruß, Stefan.
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> Seien x, [mm]x_0,[/mm] y, [mm]y_0 \in \IR,[/mm] und sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> vorgegeben. Beweisen Sie:
> Wenn [mm]|x - x_0| < \bruch{\varepsilon}{2}[/mm] und [mm]|y - y_0| < \bruch{\varepsilon}{2}[/mm],
> dann gilt [mm]|x + y - (x_0 - y_0)| < \varepsilon[/mm].
Hallo Stefan
Klarer Fall für die Dreiecksungleichung !
$\ |x + y - [mm] (x_0 [/mm] - [mm] y_0)|=|(x [/mm] - [mm] x_0) [/mm] + (y - [mm] y_0)|\le \underbrace{|(x - x_0)|}_{< \varepsilon/2} [/mm] + [mm] \underbrace{|(y - y_0)|}_{< \varepsilon/2}<\varepsilon$
[/mm]
Gruß
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> Seien x, [mm]x_0,[/mm] y, [mm]y_0 \in \IR,[/mm] und sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> vorgegeben. Beweisen Sie:
> Wenn $\ |x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] min(1,\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)})$ [/mm] und $\ |y - [mm] y_0| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)}$, [/mm]
> dann gilt [mm]\ |xy - x_0y_0| < \varepsilon[/mm].
Setze hier [mm] x-x_0=u [/mm] und [mm] y-y_0=v [/mm] und stelle
[mm] xy-x_0y_0 [/mm] mittels [mm] x_0\; [/mm] , [mm] y_0\; [/mm] ,$\ u$ und [mm] $\, [/mm] v$ dar.
Benütze dann, dass $\ |u|< [mm] min(1,\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)})$ [/mm] und $\ |v| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)}$
[/mm]
Damit sollte es möglich sein, zur gewünschten
Ungleichung zu kommen.
Wenn du dir dann auch noch überlegst, wie
man erst einmal zu den Oberschranken für $\ |u|$
und $\ |v|$ kommt, wenn sie nicht schon vorgegeben
sind, hast du schon einiges über Epsilontik gelernt
und schaffst dann die dritte Aufgabe möglicherweise
aus eigener Kraft.
viel Erfolg und schönen Sonntag 
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Setze hier [mm]x-x_0=u[/mm] und [mm]y-y_0=v[/mm] und stelle
> [mm]xy-x_0y_0[/mm] mittels [mm]x_0\;[/mm] , [mm]y_0\;[/mm] ,[mm]\ u[/mm] und [mm]\, v[/mm] dar.
>
war das damit gemeint:
[mm] u:=x-x_0, v:=y-y_0
[/mm]
dann ist: [mm] x=u+x_0 [/mm] und [mm] y=v+y_0
[/mm]
damit ist: [mm] xy-x_0y_0 [/mm] dann
[mm] (u+x_0)(v+y_0)-x_0y_0 \gdw uv+uy_0+x_0v+x_0y_0-x_0y_0 \gdw
[/mm]
[mm] uv+uy_0+x_0v.
[/mm]
wenn ich jetzt wieder u und v zurück übersetze, dann ist:
[mm] (x-x_0)(y-y_0)+(x-x_0)y_0+x_0(y-y_0) \gdw xy-xy_0-x_0y+x_0y_0+xy_0-x_0y_0+x_0y-x_0y_0 \gdw xy-x_0y_0
[/mm]
meintest du das? oder bin ich völlig falsch?
Vielen Dank, schöne Grüße, Stefan.
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> Hallo,
> > Setze hier [mm]x-x_0=u[/mm] und [mm]y-y_0=v[/mm] und stelle
> > [mm]xy-x_0y_0[/mm] mittels [mm]x_0\;[/mm] , [mm]y_0\;[/mm] ,[mm]\ u[/mm] und [mm]\, v[/mm] dar.
> >
> war das damit gemeint:
> [mm]u:=x-x_0, v:=y-y_0[/mm]
> dann ist: [mm]x=u+x_0[/mm] und [mm]y=v+y_0[/mm]
> damit ist: [mm]xy-x_0y_0[/mm] dann
> [mm](u+x_0)(v+y_0)-x_0y_0 \gdw uv+uy_0+x_0v+x_0y_0-x_0y_0 \gdw[/mm]
>
> [mm]uv+uy_0+x_0v.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn ich jetzt wieder u und v zurück übersetze, dann ist:
> [mm](x-x_0)(y-y_0)+(x-x_0)y_0+x_0(y-y_0) \gdw xy-xy_0-x_0y+x_0y_0+xy_0-x_0y_0+x_0y-x_0y_0 \gdw xy-x_0y_0[/mm]
hallo Stefan,
anstelle der Doppelpfeile solltest du Gleichheitszeichen
setzen.
Ich verstehe nicht, weshalb du "zurück übersetzen"
willst. Als Kontrolle der "Übersetzung" ist das ok,
aber was wir wollen, ist etwas anderes.
Jetzt wäre zu zeigen, dass
[mm]|uv+uy_0+x_0v|<\varepsilon[/mm], falls
|u| und |v| den in der Aufgabe angegebenen Ungleichungen
genügen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> anstelle der Doppelpfeile solltest du Gleichheitszeichen
> setzen.
ok.
> Ich verstehe nicht, weshalb du "zurück übersetzen"
> willst. Als Kontrolle der "Übersetzung" ist das ok,
> aber was wir wollen, ist etwas anderes.
ja, stimmt, das war überflüssig, eine Rechenkontrolle oder aus Verlegenheit, weil ich nicht weiter weiß.
> Jetzt wäre zu zeigen, dass
>
> [mm]|uv+uy_0+x_0v|<\varepsilon[/mm], falls
>
> |u| und |v| den in der Aufgabe angegebenen Ungleichungen
> genügen.
wenn ich jetzt mal die Bedingungen für u und v stupide in die obige Ungleichung einsetze, dann erhalte ich einen ziemlich unhandlichen Ausdruck, mit dem ich nicht wirklich etwas anzufangen weiß. Das "min" bedeutet doch, entweder 1 oder den anderen Ausdruck zu nehmen, je nachdem, welcher kleiner ist, oder? Wie kann ich diesen Ausdruck in eine berechenbare Form bringen?
Vielen Dank für die Geduld, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
sorry, hier das ist leider alles falsch, weil ich mich vertippt hab. tut mir echt leid.
Gruß, Stefan.
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Guten Abend Stefan !
> > Jetzt wäre zu zeigen, dass
> >
> > [mm]|uv+uy_0+x_0v|<\varepsilon[/mm], falls |u| und |v| den
> > in der Aufgabe angegebenen Ungleichungen genügen.
> wenn ich jetzt mal die Bedingungen für u und v stupide in
> die obige Ungleichung einsetze, dann erhalte ich einen
> ziemlich unhandlichen Ausdruck, mit dem ich nicht wirklich
> etwas anzufangen weiß.
> Das "min" bedeutet doch, entweder 1
> oder den anderen Ausdruck zu nehmen, je nachdem, welcher
> kleiner ist, oder?
Ja.
> Wie kann ich diesen Ausdruck in eine berechenbare Form bringen?
Das geht nicht, ist aber auch nicht nötig.
Betrachten wir einfach zuerst mal den "Normalfall",
wo der Term mit dem [mm] \varepsilon [/mm] kleiner als 1 ist.
Man kann sich nachher noch überlegen,
warum der andere Fall eine gesonderte Betrachtung
überhaupt nötig macht.
Also, es sei:
[mm] |u|<\bruch{\varepsilon}{2*(|y_0|+1)} [/mm] und [mm] |v|<\bruch{\varepsilon}{2*(|\red{x}_0|+1)} [/mm] (vorheriger Fehler korrigiert)
Zu zeigen ist:
[mm] |x_0*v+y_0*u+u*v|<\varepsilon
[/mm]
Dreiecksungleichung und der Satz über den Betrag eines
Produktes liefern:
[mm] |x_0*v+y_0*u+u*v|<|x_0*v|+|y_0*u|+|u*v|<|x_0|*|v|+|y_0|*|u|+|u|*|v|
[/mm]
Nun benützt man die obigen Ungleichungen für |u| und |v|
und hat:
[mm] |x_0*v+y_0*u+u*v|<|x_0|*\bruch{\varepsilon}{2*(|x_0|+1)}+|y_0|*\bruch{\varepsilon}{2*(|y_0|+1)}+\bruch{\varepsilon^2}{4*(|x_0|+1)*(|y_0|+1)}
[/mm]
Jetzt kann man einen Faktor [mm] \varepsilon [/mm] ausklammern.
Dann bleibt noch zu zeigen, dass der in der Klammer
verbleibende Term
[mm] \bruch{|x_0|}{2*(|x_0|+1)}+\bruch{|y_0|}{2*(|y_0|+1)}+\bruch{\varepsilon}{4*(|x_0|+1)*(|y_0|+1)}
[/mm]
kleiner als 1 bleibt. Leicht ist zu sehen, dass die ersten
beiden Summanden jeweils kleiner als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sind.
Man muss aber noch nachweisen, dass die Summe auch
mit dem dritten Summanden zusammen die Eins nicht
übersteigt. Dazu sollte man wohl zuerst alles auf gemein-
samen Nenner bringen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Guten Abend Al-Chwarizmi,
> [mm]\bruch{|x_0|}{2*(|x_0|+1)}+\bruch{|y_0|}{2*(|y_0|+1)}+\bruch{\varepsilon}{4*(|x_0|+1)*(|y_0|+1)}[/mm]
>
> kleiner als 1 bleibt. Leicht ist zu sehen, dass die ersten
> beiden Summanden jeweils kleiner als [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sind.
> Man muss aber noch nachweisen, dass die Summe auch
> mit dem dritten Summanden zusammen die Eins nicht
> übersteigt. Dazu sollte man wohl zuerst alles auf gemein-
> samen Nenner bringen.
ok, dann tue ich das mal:
[mm]\bruch{|x_0|}{2*(|x_0|+1)}+\bruch{|y_0|}{2*(|y_0|+1)}+\bruch{\varepsilon}{4*(|x_0|+1)*(|y_0|+1)}=
\bruch{2|x_0|(|y_0|+1)+2|y_0|(|x_0|+1)+\varepsilon}{4(|x_0|+1)(|y_0|+1)}=
\bruch{4|x_0||y_0|+2|x_0|+2|y_0|+\varepsilon}{4(|x_0|+1)(|y_0|+1)}[/mm]
so und nun weiß ich nicht, wie ich sehen soll, dass der Ausdruck < 1 und damit alles zusammen < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Sorry, ich muss wieder um Hilfe bitten.
Danke, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:46 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
solange [mm] 2|x_0|+2|y_0|+4<\epsilon [/mm] ist dder Bruch <1
(einfach den Nenner ausmult.
Gruss leduart
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> Hallo
> solange [mm]2|x_0|+2|y_0|+4<\epsilon[/mm] ist dder Bruch <1
> (einfach den Nenner ausmult.
> Gruss leduart
hallo leduart,
damit dies möglich wäre, müsste [mm] \epsilon [/mm] > 4 sein ... !!
(das kannst du wohl nicht gemeint haben)
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Mo 01.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry das < Zeichen muss natürlich ein > sein
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Mo 01.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hi leduart,
> Hallo
> solange [mm]2|x_0|+2|y_0|+4<\epsilon[/mm] ist dder Bruch <1
> (einfach den Nenner ausmult.
> Gruss leduart
hm, also wenn ich die Nenner ausmultipliziere komme ich auf:
[mm] 2(|x_0|+1)*2(|y_0|+1)=4(|x_0|+1)(|y_0|+1)
[/mm]
jetzt sind die Nenner der beiden ersten Brüche und des letzten Bruchs ja gleich. und nun?
Vielen Dank für die Hilfe, Gruß, Stefan.
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[mm]\bruch{|x_0|}{2*(|x_0|+1)}+\bruch{|y_0|}{2*(|y_0|+1)}+\bruch{\varepsilon}{4*(|x_0|+1)*(|y_0|+1)}=\bruch{2|x_0|*(|y_0|+1)+2|y_0|(|x_0|+1)+\varepsilon}{4(|x_0|+1)(|y_0|+1)}=\bruch{4|x_0|*|y_0|+2|x_0|+2|y_0|+\varepsilon}{4(|x_0|+1)(|y_0|+1)}<1[/mm]
[mm] $\bruch{4|x_0|*|y_0|+2*|x_0|+2*|y_0|+\varepsilon}{4(|x_0|+1)*(|y_0|+1)}<1$
[/mm]
Mit dem Nenner (sicher positiv !) multipliziert:
$\ [mm] 4*|x_0|*|y_0|+2*|x_0|+2*|y_0|+\varepsilon<4*(|x_0|+1)*(|y_0|+1)$
[/mm]
$\ [mm] 4*|x_0|*|y_0|+2*|x_0|+2*|y_0|+\varepsilon<4*(|x_0|*|y_0|+|x_0|+|y_0|+1)$
[/mm]
$\ [mm] 4*|x_0|*|y_0|+2*|x_0|+2*|y_0|+\varepsilon<4*|x_0|*|y_0|+4*|x_0|+4*|y_0|+4$
[/mm]
[mm] $\varepsilon<\underbrace{2*|x_0|+2*|y_0|}_{\ge 0}+4$
[/mm]
Mit [mm] 0<\varepsilon<4 [/mm] ist also die Ungleichung sicher erfüllt.
Den gegenteiligen Fall [mm] \varepsilon\ge [/mm] 4 darf man in einem solchen
Zusammenhang wohl ausschliessen. Sollte trotzdem ein [mm] \varepsilon\ge [/mm] 4
vorgegeben sein, ersetze man es zunächst (was erlaubt ist)
durch einen Wert <4 und führe den Nachweis damit.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Mo 01.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Al,
> Mit [mm]0<\varepsilon<4[/mm] ist also die Ungleichung sicher
> erfüllt.
> Den gegenteiligen Fall [mm]\varepsilon\ge[/mm] 4 darf man in einem
> solchen
> Zusammenhang wohl ausschliessen. Sollte trotzdem ein
> [mm]\varepsilon\ge[/mm] 4
> vorgegeben sein, ersetze man es zunächst (was erlaubt
> ist)
> durch einen Wert <4 und führe den Nachweis damit.
ja, ok, das verstehe ich, ich hätte die Umformung ja nur einfach konsequent weiterrechnen müssen, super, vielen Dank. Jetzt kommt aber noch der Fall, wenn das min [mm] \ge [/mm] 1 ist, oder? Das werde ich dann auch mal versuchen, sicherlich in ähnlicher Weise, oder?
Danke schön für die Hilfe, Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mo 01.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Al,
> Zusammenhang wohl ausschliessen. Sollte trotzdem ein
> [mm]\varepsilon\ge[/mm] 4
> vorgegeben sein, ersetze man es zunächst (was erlaubt
> ist)
> durch einen Wert <4 und führe den Nachweis damit.
ok, es ist ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgegeben, was nun?
Danke, Gruß, Stefan.
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Hallo Stefan,
Meiner Ansicht nach ist die Sache mit dem
[mm] min\{1, \bruch{\varepsilon}{2*(|y_0|+1)}\}
[/mm]
eigentlich überflüssig. Das käme ja ohnehin nur
dann zum Zug, wenn [mm] \varepsilon [/mm] wirklich makroskopisch ist,
was man einem [mm] \varepsilon [/mm] normalerweise gar nicht zutraut 
In diesem Fall würde ich eben einfach zuerst das [mm] \varepsilon [/mm]
verkleinern, sagen wir zu [mm] \overline{\varepsilon}:=3 [/mm] , und dann das [mm] \delta_u [/mm] damit
berechnen:
[mm] $\delta_u:=\bruch{\overline{\varepsilon}}{2*(|y_0|+1)}=\bruch{3}{2*(|y_0|+1)}$
[/mm]
Wenn dann [mm] |u|<\delta_u [/mm] und analog [mm] |v|<\delta_v [/mm] , dann wird
[mm] |y_0*u+x_0*v+u*v|<\overline{\varepsilon}<\varepsilon. [/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 01.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Al,
> Mit [mm]0<\varepsilon<4[/mm] ist also die Ungleichung sicher
> erfüllt.
> Den gegenteiligen Fall [mm]\varepsilon\ge[/mm] 4 darf man in einem
> solchen
> Zusammenhang wohl ausschliessen.
Ok, [mm] \varepsilon [/mm] sollte ja eigentlich sehr klein sein, klar, kann ich denn dann argumentieren (für den Prof), dass [mm] |xy-x_0y_0|<\varepsilon [/mm] für [mm] 0<\varepsilon<4, [/mm] ohne dass ich Probleme bekomme? Ich könnte ja sagen, dass die Ungleichung für sehr kleine [mm] \varepsilon [/mm] nahe 0 und sogar für große [mm] \varepsilon [/mm] nahe der 4 gültig ist, würde das genügen?
Danke, Gruß, Stefan.
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> Hallo Al,
> > Mit [mm]0<\varepsilon<4[/mm] ist also die Ungleichung sicher
> > erfüllt.
> > Den gegenteiligen Fall [mm]\varepsilon\ge[/mm] 4 darf man in
> einem
> > solchen
> > Zusammenhang wohl ausschliessen.
> Ok, [mm]\varepsilon[/mm] sollte ja eigentlich sehr klein sein,
> klar, kann ich denn dann argumentieren (für den Prof), dass
> [mm]|xy-x_0y_0|<\varepsilon[/mm] für [mm]0<\varepsilon<4,[/mm] ohne dass ich
> Probleme bekomme? Ich könnte ja sagen, dass die Ungleichung
> für sehr kleine [mm]\varepsilon[/mm] nahe 0 und sogar für große
> [mm]\varepsilon[/mm] nahe der 4 gültig ist, würde das genügen?
>
> Danke, Gruß, Stefan.
Guten Abend Stefan,
Eigentlich geht es ja nur um die Berechnung eines [mm] \delta(\varepsilon).
[/mm]
Falls das [mm] \varepsilon>3 [/mm] ist, ersetze es zunächst einfach durch
[mm] \varepsilon=3 [/mm] , um damit das [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)} [/mm] zu berechnen. Das so
berechnete [mm] \delta [/mm] ist dann jedenfalls auch genügend.
"Meine" Formel wäre also:
$\ [mm] \delta(\varepsilon)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{min(\varepsilon,3)}{2(|y_0|+1)}$
[/mm]
Das ist eine etwas andere, aber jedenfalls auch
brauchbare Methode, um ein zureichendes [mm] \delta(\varepsilon) [/mm]
für den Stetigkeitsnachweis zu bestimmen (einmal
vorausgesetzt, dass in meiner Herleitung kein
Fehler ist - was ich nicht absolut garantiere).
Ich habe einfach nicht gemerkt, wie man zu der
angegebenen Formel gekommen ist ...
Was dein Prof oder seine Assistentin zu diesem
etwas anderen Weg sagen würde , weiss ich nicht.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mo 01.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Al,
> Wenn du dir dann auch noch überlegst, wie
> man erst einmal zu den Oberschranken für [mm]\ |u|[/mm]
> und [mm]\ |v|[/mm]
> kommt, wenn sie nicht schon vorgegeben
> sind, hast du schon einiges über Epsilontik gelernt
> und schaffst dann die dritte Aufgabe möglicherweise
> aus eigener Kraft.
ich fürchte leider nicht. Wie muss ich denn hier umformen? Muss ich ebenfalls das [mm] |y-y_0| [/mm] durch eine andere Variable ersetzen? Hier fehlt mir generell so eine Idee, wie ich an diese Sachen herangehen muss, in Aufgabe 2 wäre ich da auch nie selber drauf gekommen, hier geht es mir nicht anders.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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Hallo Stefan,
also noch zur 3.Aufgabe, und zwar ohne uns
auf das angegebene [mm] \delta [/mm] zu stützen !
Es geht um die Reziprokfunktion [mm] f:y\mapsto \bruch{1}{y} [/mm]
und ihre Stetigkeit an einer Stelle [mm] y_0\not=0 [/mm] .
Ein positives [mm] \varepsilon [/mm] sei gegeben. Wir suchen ein [mm] \delta(\varepsilon)
[/mm]
mit der Eigenschaft
$\ [mm] |y-y_0|<\delta(\varepsilon)\ \Rightarrow\ |f(y)-f(y_0)|<\varepsilon$
[/mm]
also:
$\ [mm] |y-y_0|<\delta(\varepsilon)\ \Rightarrow\ \left|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{y_0}\right|<\varepsilon$
[/mm]
Wir setzen $\ [mm] y-y_0=:u$ [/mm] bzw. $\ [mm] y=y_0+u$ [/mm] .
Damit ist
$\ [mm] \left|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{y_0}\right|\ [/mm] =\ [mm] \left|\bruch{1}{y_0+u}-\bruch{1}{y_0}\right|\ [/mm] =\ [mm] \left|\bruch{-u}{y_0*(y_0+u)}\right|\ [/mm] =\ [mm] \bruch{|u|}{|y_0|*|y_0+u|}$
[/mm]
Um im Nenner des letzten Terms das u aus der
Verquickung mit [mm] y_0 [/mm] zu lösen, können wir die
zweite Dreiecksungleichung verwenden:
$\ [mm] |y_0+u|\ \ge\ \left||y_0|-|u|\right|$
[/mm]
Damit wird, weil bei einem Bruch mit positivem
Zähler und Nenner das Verkleinern des Nenners
eine Vergrösserung des Bruches bedeutet:
$\ [mm] \left|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{y_0}\right|\ [/mm] =\ [mm] \bruch{|u|}{|y_0|*|y_0+u|}\ \le\ \bruch{|u|}{|y_0|*\left||y_0|-|u|\right|}$
[/mm]
Der Faktor [mm] |y_0| [/mm] im Nenner ist problemlos, weil
positiv [mm] (y_0\not=0 [/mm] !) und konstant. Damit uns der
andere Faktor [mm] \left||y_0|-|u|\right| [/mm] keinen "Streich"
spielen kann (z.B. wenn [mm] |u|=|y_0|), [/mm] verlangen wir
zunächst einmal, dass
[mm] |u|<\bruch{|y_0|}{2}
[/mm]
sein soll. Damit klatschen wir gerade noch eine
zweite Fliege, denn mit [mm] |u|<\bruch{|y_0|}{2} [/mm] wird auch
[mm] $\left||y_0|-|u|\right|\ [/mm] >\ [mm] \bruch{|y_0|}{2}$
[/mm]
und damit
$\ [mm] \left|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{y_0}\right|\ \le\ \bruch{|u|}{|y_0|*\left||y_0|-|u|\right|}\ [/mm] <\ [mm] \bruch{|u|}{|y_0|*\bruch{|y_0|}{2}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{2*|u|}{|y_0|^2}$
[/mm]
Dies ist nun ein handlicher Ausdruck mit $\ |u|$ , den
wir dem [mm] \varepsilon [/mm] gegenüberstellen können.
Wir möchten:
[mm] $\bruch{2*|u|}{|y_0|^2}\ [/mm] <\ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Dies können wir haben, wenn wir nur dafür
sorgen dass $\ |u|$ ausser der oben schon einge-
führten Ungleichung [mm] |u|<\bruch{|y_0|}{2} [/mm] auch noch diese
erfüllt:
$\ |u|\ <\ [mm] \bruch{\varepsilon*|y_0|^2}{2}$
[/mm]
Beide Ungleichungen sind dann sicher erfüllt,
wenn
$\ |u|\ <\ min [mm] \left(\bruch{|y_0|}{2},\bruch{\varepsilon*|y_0|^2}{2}\right)$
[/mm]
Der Term auf der rechten Seite ist genau das
in der Aufgabe 3 vorgegebene [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] .
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 01.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Al,
> Der Term auf der rechten Seite ist genau das
> in der Aufgabe 3 vorgegebene [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] .
ok, danke schön, ich werde mir die Aufgabe jetzt nochmal im Detail ansehen und versuchen, nachzuvollziehen.
Gibt es da eine Vorgehensweise, wie man an solche Aufgaben herangeht? Wie kommt man auf die einzelnen Schritte, ohne geniale Eingebung?
Naja, besten Dank nochmals, Gruß und schönen Abend, Stefan.
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> ok, danke schön, ich werde mir die Aufgabe jetzt nochmal im
> Detail ansehen und versuchen, nachzuvollziehen.
> Gibt es da eine Vorgehensweise, wie man an solche Aufgaben
> herangeht? Wie kommt man auf die einzelnen Schritte, ohne
> geniale Eingebung?
Übung ersetzt einen erheblichen Teil des ansonsten
nötigen Genies ...
Versuche also, noch an zwei drei weitere ausführlich
dargestellte Lösungen zu kommen, die du am besten
zusammen mit Kollegen durcharbeitest. Dann kannst
du testen, ob du sie ohne Nachschauen reproduzieren
kannst, und anschliessend bist du reif für ein paar
weitere Beispiele, die du dann wohl allein schaffst.
Wechsle dann aber das Thema, denn Epsilontik ist
längst nicht der Gipfel der mathematischen Genüsse ...
Gruß Al
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Wenn [mm]|x - x_0| < min(1,\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)})[/mm]
> und [mm]|y - y_0| < \bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)}[/mm], dann gilt
> [mm]|xy - x_0y_0| < \varepsilon[/mm].
Sorry vielmals, ich habe mich hier vertan, bei der 2. Ungleichung muss es lauten:
[mm]|y - y_0| < \bruch{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}[/mm]
und nicht
[mm]|y - y_0| < \bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)}[/mm]
SORRY!!
Gruß, Stefan.
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