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| Aufgabe | Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion u: [0,1] -> R mit u(0) = u(1) = 0.
a) Man zeige, dass es ein c > 0 gibt, sodass gilt:
[mm] \integral_{0}^{1}{[u(x)]^2 dx} \le [/mm] c [mm] \integral_{0}^{1}{[u'(x)]^2 dx}.
[/mm]
b) Man finde den optimalen Wert für die Konstante c aus obiger Ungleichung, wobei zusätzlich [mm] \integral_{0}^{1}{[u(x)] dx} [/mm] gilt. Man entwickle dazu die Funktion u in eine Fourierreihe. |
Hallo!
Ich komme bei der Aufgabe b) leider nicht voran (a hab ich bereits gelöst). Was ich bis jetzt gemacht habe, ist die Funktion u als Fourierreihe darzustellen und davon die Ableitung hinzuschreiben, das sieht dann bei mir folgendermaßen aus:
u(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} cos(2k\pi [/mm] x) + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} sin(2k\pi [/mm] x)
u'(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-2k\pi) a_{k} sin(2k\pi [/mm] x) + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (2k\pi) b_{k} cos(2k\pi [/mm] x)
Hoffentlich kann mir jemand weiterhelfen. Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Sa 21.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion u: [0,1]
> -> R mit u(0) = u(1) = 0.
> a) Man zeige, dass es ein c > 0 gibt, sodass gilt:
> [mm]\integral_{0}^{1}{[u(x)]^2 dx} \le[/mm] c
> [mm]\integral_{0}^{1}{[u'(x)]^2 dx}.[/mm]
> b) Man finde den
> optimalen Wert für die Konstante c aus obiger Ungleichung,
> wobei zusätzlich [mm]\integral_{0}^{1}{[u(x)] dx}[/mm] gilt. Man
> entwickle dazu die Funktion u in eine Fourierreihe.
Den vorletzten Satz verstehe ich nicht: Was heisst: "wobei zusätzlich [mm]\integral_{0}^{1}{[u(x)] dx}[/mm] gilt"? Fehlt da was?
> Ich komme bei der Aufgabe b) leider nicht voran (a hab ich
> bereits gelöst). Was ich bis jetzt gemacht habe, ist die
> Funktion u als Fourierreihe darzustellen und davon die
> Ableitung hinzuschreiben, das sieht dann bei mir
> folgendermaßen aus:
>
> u(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k} cos(2k\pi[/mm] x) +
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} b_{k} sin(2k\pi[/mm] x)
> u'(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-2k\pi) a_{k} sin(2k\pi[/mm] x)
> + [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (2k\pi) b_{k} cos(2k\pi[/mm] x)
Du könntest damit die beiden Integrale
[mm]\integral_{0}^{1}{[u(x)]^2 dx} [/mm]
und
[mm]\integral_{0}^{1}{[u'(x)]^2 dx}[/mm]
ausrechnen; das ergibt in beiden Fällen unendliche Reihen, in denen die [mm] $a_k$ [/mm] und [mm] $b_k$ [/mm] vorkommen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Woif1986 |
Nein, in der Angabe fehlt nichts. Dass das Integral über die Funktion u gleich Null ist, bedeutet hier, dass der Term [mm] a_{0}/2, [/mm] der eigentlich noch zur Fourierreihe gehört, wegfällt, weil dieser genau dem Integral über u entspricht. also:
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{u(x) dx} [/mm] = 0.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
In der ursprünglichen Aufgabe steht aber nicht, dass es gleich 0 ist. Aber gut, damit ist meine Frage beantwortet.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mi 25.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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