Entwickeln in Fourierreihe < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Mo 01.11.2010 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrte Matheraum Mitarbeiter,
ich habe leider ein kleines Problem mit der Entwicklung einer Fourierreihe bzw. bräuchte eventuell ein wenig Hilfe.
Aufgabe:
Gegeben sei die [mm] 2\pi [/mm] - periodische Funktion f(x)=|sin(x)|. Entwickle f in eine Fourierreihe.
[mm] \omega=\bruch{2\pi}{T}=\bruch{2\pi}{2\pi} \Rightarrow \omega=1
[/mm]
f(x)=|sin(x)| ist eine gerade Funktion, da gilt f(-x)=f(x) und somit sind alle [mm] b_{k}=0
[/mm]
Berechnung der Fourierreihe:
da [mm] \omega=1 [/mm] und [mm] b_{k}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi_n(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}(a_k*cos(kx))
[/mm]
Bestimmung von [mm] a_{0}:
[/mm]
da [mm] \omega=1 [/mm] und k=0
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{2}{T}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}
[/mm]
da [mm] T=2\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}
[/mm]
Bestimmung von [mm] a_{k}:
[/mm]
da [mm] \omega=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{k}=\bruch{2}{T}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*cos(kx) dx}
[/mm]
da [mm] T=2\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*cos(kx) dx}
[/mm]
Bevor ich mich nun der Integration probiere, wollte ich zunächst wissen, ob meine Ansätze richtig wären und ich so Problemlos rechnen könnte.
Danke für eure Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sehr geehrte Matheraum Mitarbeiter,
>
> ich habe leider ein kleines Problem mit der Entwicklung
> einer Fourierreihe bzw. bräuchte eventuell ein wenig
> Hilfe.
>
> Aufgabe:
> Gegeben sei die [mm]2\pi[/mm] - periodische Funktion f(x)=|sin(x)|.
> Entwickle f in eine Fourierreihe.
>
> [mm]\omega=\bruch{2\pi}{T}=\bruch{2\pi}{2\pi} \Rightarrow \omega=1[/mm]
>
> f(x)=|sin(x)| ist eine gerade Funktion, da gilt f(-x)=f(x)
> und somit sind alle [mm]b_{k}=0[/mm]
>
> Berechnung der Fourierreihe:
> da [mm]\omega=1[/mm] und [mm]b_{k}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \phi_n(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}(a_k*cos(kx))[/mm]
>
> Bestimmung von [mm]a_{0}:[/mm]
> da [mm]\omega=1[/mm] und k=0
> [mm]\Rightarrow a_{0}=\bruch{2}{T}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm]
>
> da [mm]T=2\pi[/mm]
> [mm]\Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm]
>
> Bestimmung von [mm]a_{k}:[/mm]
> da [mm]\omega=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow a_{k}=\bruch{2}{T}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*cos(kx) dx}[/mm]
>
> da [mm]T=2\pi[/mm]
> [mm]\Rightarrow a_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*cos(kx) dx}[/mm]
>
> Bevor ich mich nun der Integration probiere, wollte ich
> zunächst wissen, ob meine Ansätze richtig wären
Sie sind richtig
FRED
> und ich
> so Problemlos rechnen könnte.
>
> Danke für eure Hilfe.
>
> Mit freundlichen Grüßen thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 01.11.2010 | | Autor: | thadod |
Hello again,
habe heute noch versucht die entsprechenden Integrale zu lösen.
Doch leider komme ich nicht so recht weiter.
Das wird wahrscheinlich an f(x)=|sin(x)| liegen.
Ich habe mir nun folgendes versucht klarzumachen:
Ich untersuche einfach, für welche x der sin positiv und für welche x der sin negativ wird.
sin(x) ist zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] positiv [mm] \Rightarrow [/mm] sin(x)
sin(x) ist zwischen [mm] \pi [/mm] bis [mm] 2\pi [/mm] negativ [mm] \Rightarrow [/mm] -sin(x)
Wäre es nun eventuell möglich, das Integral aufzuteilen, sodass ich schreiben kann:
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})
[/mm]
bzw.
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{2\pi}{(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})\cdot{}cos(kx) dx}))
[/mm]
Hatte irgendwie gehofft, dass es so möglich wäre. Das mit dem Sinus im Betrag macht mir ein wenig zu schaffen.
Wäre super, wenn ihr mir hierfür eventuell nochmal helfen könntet.
Danke euch vielmals.
Mit freundlichen Grüßen thadod
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Hallo thadod,
> Hello again,
>
> habe heute noch versucht die entsprechenden Integrale zu
> lösen.
> Doch leider komme ich nicht so recht weiter.
> Das wird wahrscheinlich an f(x)=|sin(x)| liegen.
>
> Ich habe mir nun folgendes versucht klarzumachen:
> Ich untersuche einfach, für welche x der sin positiv und
> für welche x der sin negativ wird.
>
> sin(x) ist zwischen 0 und [mm]\pi[/mm] positiv [mm]\Rightarrow[/mm] sin(x)
> sin(x) ist zwischen [mm]\pi[/mm] bis [mm]2\pi[/mm] negativ [mm]\Rightarrow[/mm]
> -sin(x)
>
> Wäre es nun eventuell möglich, das Integral aufzuteilen,
> sodass ich schreiben kann:
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})[/mm]
Ja, das ist machbar.
Das zweite Integral
[mm]\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx}[/mm]
kannst Du jedoch durch eine geeignete Substitution
auf das erstere zurückführen.
>
> bzw.
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{2\pi}{(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})\cdot{}cos(kx) dx}))[/mm]
Hier ist wohl gemeint:
[mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right)[/mm]
Für das zweite Integral gilt das zuvor gesagte.
>
> Hatte irgendwie gehofft, dass es so möglich wäre. Das mit
> dem Sinus im Betrag macht mir ein wenig zu schaffen.
> Wäre super, wenn ihr mir hierfür eventuell nochmal
> helfen könntet.
>
> Danke euch vielmals.
>
> Mit freundlichen Grüßen thadod
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 01.11.2010 | | Autor: | thadod |
Hallo Mathepower.
Zunächst danke für deine Hilfe.
Was genau aber meinst du mit Substitution.
für mich wäre jetzt am zum Beispiel für [mm] a_{0} [/mm] im Anschluss plausibel gewesen:
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot ([-cos(x)]^{\pi}_{0}+[cos(x)]^{2\pi}_{\pi})
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot [/mm] ((1-1)+(1-1))
[mm] \Rightarrow a_{0}=0
[/mm]
Für [mm] a_{k} [/mm] dann entsprechend das gleiche, nur halt anders integrieren.
Mit freundlichen Grüßen thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wenn du dir den |sin(x)| als Graph ansiehst, solltest du sehen, dass die Fläche darunter nicht 0 ist! die Beiden Integrale sind entgegengesetzt gleich.
vielleicht fällt dir die Umformung leichter, wenn du statt von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] zu integrieren von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] integrierst. fr die [mm] a_k [/mm] bzw [mm] b_k [/mm] kannst du über jedes beliebige intervall der länge [mm] 2\pi [/mm] integrieren, weil die fkt ja periodisch mit [mm] 2\pi [/mm] sind. oft ist deshalb obiges Intervall das beste.
dann verwende sin(-x)=-sin(x) cos(-kx)=cos(kx)
und stell fest, dass du immer einfach das eine Integral verdoppeln kannst.
Das Integral selbst löst du mit 2 mal partiell integrieren,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 01.11.2010 | | Autor: | thadod |
> Hallo
> 1. wenn du dir den |sin(x)| als Graph ansiehst, solltest
> du sehen, dass die Fläche darunter nicht 0 ist! die Beiden
> Integrale sind entgegengesetzt gleich.
Das die Fläche für |sin(x)| gleich ist, ist mir ja klar. Aber wir waren ja nun angekommen bei
sin(x) ist positiv zwischen 0 und [mm] \pi
[/mm]
sin(x) ist negativ zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] 2\pi
[/mm]
Ich wollte jetzt versuchen das hierrüber zu integrieren, so wie es mir Mathepower ja auch bestätigte
> vielleicht fällt dir die Umformung leichter, wenn du
> statt von 0 bis [mm]2\pi[/mm] zu integrieren von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]+\pi[/mm]
> integrierst. fr die [mm]a_k[/mm] bzw [mm]b_k[/mm] kannst du über jedes
> beliebige intervall der länge [mm]2\pi[/mm] integrieren, weil die
> fkt ja periodisch mit [mm]2\pi[/mm] sind. oft ist deshalb obiges
> Intervall das beste.
> dann verwende sin(-x)=-sin(x) cos(-kx)=cos(kx)
> und stell fest, dass du immer einfach das eine Integral
> verdoppeln kannst.
> Das Integral selbst löst du mit 2 mal partiell
> integrieren,
Das mit dem Verschieben der Integralgrenzen verstehe ich ja auch. Solange zwischen Obergrenze und Untergrenze die Periode [mm] T=2\pi [/mm] steht kann ich es beliebig ersetzen.
Mit macht nur |sin(x)| also der Betrag in dem der sin(x) steht zu schaffen. Wie schaffe ich es nun, diesen sinnvoll aus folgenden schon berechneten Formeln zu lösen???
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx}
[/mm]
Und [mm] b_{k} [/mm] ist ja null, wie wir bereits festgestellt hatten. Also warum sollte ich mir über [mm] b_{k} [/mm] nun noch einen Kopf machen?
Dachte mein Ansatz wäre richtig gewesen? Warum muss ich das jetzt nochmal überdenkeb? Und wie kann ich |sin(x)| integrieren?
Hoffe ihr könnt mir das nochmal versuchen zu erklären.
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
tut mir leid, wenn ich dich verwirrt habe.
es ist richtig, dass du wegen des Betrags das Intervall in 2 Teile teilen musst. die beiden Integrale sind dann gleich. allerdings sind sie nicht 0
cos(0)=1, [mm] cos(\pi)=-1 [/mm] also ist dein Ergebnis eines Integrals 1-(-1)=2 und nicht 0.
dann musst du für die restlichen ak nur noch ausrechnen
[mm]a_k=\bruch{1}{\pi}*2*\integral_{0}^{\pi}{sin(x)*cos(kx)dx}[/mm]
und das Integral rechnest du mit partieller Integration aus. Wenn man dabei Schwierigkeiten hat hilft auch mal integrals.wolfram.com
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Di 02.11.2010 | | Autor: | thadod |
Guten Morgen. Und danke für deine Hilfe...
Okay also nochmal zurück zu den Formeln, die ich bereits mit Mathepower hergeleitet hatte...
Wie bereits erwähnt ist [mm] b_{k}=0, [/mm] da es sich um eine gerade Funktion handelt.
Für [mm] a_{0} [/mm] ergibt sich, sofern ich die Integrale aufteile:
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})
[/mm]
Für [mm] a_{k} [/mm] ergibt sich, sofern ich die Integrale ebenfalls aufteile:
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right)
[/mm]
Ich komme nun zur Integration von [mm] a_{0}:
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-cos(x)|_{0}^{\pi}+cos(x)|_{\pi}^{2\pi})
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-(-1-1)+(1-(-1)))
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-(-2)+(2)))
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(4)
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{4}{\pi}
[/mm]
Ich komme nun zur Integration von [mm] a_{k}:
[/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right)
[/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\bruch{ksin(x)sin(kx)+cos(x)cos(kx))}{k^2-1}|_{0}^{\pi}-(\bruch{ksin(x)sin(kx)+cos(x)cos(kx))}{k^2-1}|_{\pi}^{2\pi}))
[/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}-1-(\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1}-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}))
[/mm]
Irgendwie kann ich mir bis hierhin garnicht vorstellen, dass das richtig gerechnet ist. Gibt es vielleicht einen anderen Weg? Finde diesen hier mittlerweile ganz schön kompliziert.
Ich weiß einfach nicht so recht weiter.
Bitte wirklich um Hilfe...
Mit freundlichen Grüßen thadod
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> Guten Morgen. Und danke für deine Hilfe...
>
> Okay also nochmal zurück zu den Formeln, die ich bereits
> mit Mathepower hergeleitet hatte...
>
> Wie bereits erwähnt ist [mm]b_{k}=0,[/mm] da es sich um eine gerade
> Funktion handelt.
>
> Für [mm]a_{0}[/mm] ergibt sich, sofern ich die Integrale aufteile:
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})[/mm]
>
> Für [mm]a_{k}[/mm] ergibt sich, sofern ich die Integrale ebenfalls
> aufteile:
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right)[/mm]
>
> Ich komme nun zur Integration von [mm]a_{0}:[/mm]
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-cos(x)|_{0}^{\pi}+cos(x)|_{\pi}^{2\pi})[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-(-1-1)+(1-(-1)))[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-(-2)+(2)))[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(4)[/mm]
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> [mm]a_{0}=\bruch{4}{\pi}[/mm]
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> Ich komme nun zur Integration von [mm]a_{k}:[/mm]
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right)[/mm]
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\bruch{ksin(x)sin(kx)+cos(x)cos(kx))}{k^2-1}|_{0}^{\pi}-(\bruch{ksin(x)sin(kx)+cos(x)cos(kx))}{k^2-1}|_{\pi}^{2\pi}))[/mm]
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}-\bruch{1}{\red{k^2-1}}-(\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1}-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}))[/mm]
>
>
> Irgendwie kann ich mir bis hierhin garnicht vorstellen,
> dass das richtig gerechnet ist.
Hallo,
die Stammfunktionen hab' ich nicht kontrolliert, ich nehme an, daß Du den Bronstein oder Wolfram befragt hast. Den fehlenden Bruch habe ich rot eingefügt.
Nun mach weiter.
Gruß v. Angela
> Gibt es vielleicht einen
> anderen Weg? Finde diesen hier mittlerweile ganz schön
> kompliziert.
>
> Ich weiß einfach nicht so recht weiter.
>
> Bitte wirklich um Hilfe...
>
> Mit freundlichen Grüßen thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Di 02.11.2010 | | Autor: | thadod |
Oh ja... da habe ich den Bruch vergessen. Dankeschön für die Hilfe.
>die Stammfunktionen hab' ich nicht kontrolliert, ich nehme an, daß Du den >Bronstein oder Wolfram befragt hast.
Ja genau das stimmt. den Wolfram habe ich genutzt.
Also gut... Das [mm] a_{0} [/mm] für meine Fourierreihe habe ich ja nun erfolgreich ausgerechnet [mm] a_{0}=\bruch{4}{\pi}
[/mm]
für [mm] a_{k} [/mm] erhalte ich dann folgendes:
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}*(-\bruch{1}{k^2-1}-\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1})
[/mm]
[mm] a_{k}=-\bruch{1+cos(2k\pi)}{\pi(k^2-1)}
[/mm]
Somit hätte ich dann am Ende folgende Fourierreihe:
[mm] \phi_n(x)=\bruch{2}{\pi}+\summe_{k=1}^{n}(-\bruch{1+cos(2k\pi)}{\pi(k^2-1)}\cdot{}cos(kx))
[/mm]
Also ich hoffe echt, dass das so jetzt richtig ist. Ansonsten gehen meine Punkte flöten...
Ich habe vielleicht noch 2 grundlegende Fragen:
1. Wäre es nun eventuell sinnvoll statt [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] vielleicht [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] zu schreiben
2. Ich hatte ja die Funktion f(x)=|sin(x)| gegeben [mm] (2\pi [/mm] - periodisch).
Warum kann ich die Integrale dann aufteilen???
Sprich:
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{|sin(x)| dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})
[/mm]
Ich danke vielmals für eure Hilfe bei dieser Aufgabe
mfg thadod
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> Also gut... Das [mm]a_{0}[/mm] für meine Fourierreihe habe ich ja
> nun erfolgreich ausgerechnet [mm]a_{0}=\bruch{4}{\pi}[/mm]
>
> für [mm]a_{k}[/mm] erhalte ich dann folgendes:
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}*(-\bruch{1}{k^2-1}-\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1})[/mm]
>
> [mm]a_{k}=-\bruch{1+cos(2k\pi)}{\pi(k^2-1)}[/mm]
Hallo,
vielleicht denkst Du mal haarscharf drüber nach, was [mm] cos(2k\pi) [/mm] ergibt...
> Ich habe vielleicht noch 2 grundlegende Fragen:
>
> 1. Wäre es nun eventuell sinnvoll statt [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> vielleicht [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] zu schreiben
Du mußt das tun, die Fourierreihe ist eine unendliche Reihe.
>
> 2. Ich hatte ja die Funktion f(x)=|sin(x)| gegeben [mm](2\pi[/mm] -
> periodisch).
> Warum kann ich die Integrale dann aufteilen???
> Sprich:
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm]
Für jedes Integral ist [mm] \Integral_a^b=\Integral_a^c+\integral_c^b.
[/mm]
Also ist [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm]=[mm]\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{f(x) dx}+\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{\pi}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm].
Nun hattest Du f(x)=|sin(x)|.
Es ist [mm]f(x)=\begin{cases} sin(x), & \mbox{fuer } 0\le x\le \pi \\
-sin(x), & \mbox{fuer } \pi< x < 2\pi \end{cases}[/mm]
In jedes der Integrale wird der richtige Ausdruck für f(x) eingesetzt.
>
> [mm]\Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 02.11.2010 | | Autor: | thadod |
Hallo Angela,
Dann scheint das, was ich bis dato gemacht habe ja richtig zu sein...
Danke zunächst für deine Nachricht...
Das mit [mm] cos(2k\pi) [/mm] hatte ich mir schon überlegt, was das bedeuten kann...
Wenn ich das bisher richtig verstanden habe, dann handelt es sich bei k um Zahlen wie z.B. k=1,2,3,4...
Für [mm] 2\pi [/mm] ist [mm] cos(x)=cos(2\pi)=1 [/mm] und der Faktor k=1,2,3,4... ist ja jedesmal ein vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] also z.B. cos(1*2pi)=1, [mm] cos(2*2\pi)=1, cos(3*2\pi)=1, cos(4*2\pi)=1
[/mm]
also müsste [mm] cos(2k\pi)=1 [/mm] sein. Bzw. besser von der schreibweise her [mm] cos(k*2\pi)=1...
[/mm]
Hoffe das das stimmt...
mfg thadod
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Di 02.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja ist richtig.
Deine Formulierung;
"Wenn ich das bisher richtig verstanden habe, dann handelt es sich bei k um Zahlen wie z.B. k=1,2,3,4..."
klingt allerdings eigenartig.
k ist ein sogenanntet "Summationsindex?, das bedeutet, dass für k in einer Summe nacheinander alle Werte vom untersten (Unten geschrieben) bis zum letzten, (oben) eingesetzt wird.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Di 02.11.2010 | | Autor: | thadod |
Okay an der Formulierung werde ich noch arbeiten.
Ich danke euch vielmals für eure Hilfe. Ihr habt mir wirklich sehr gut geholfen.
Mit freundlichen Grüßen thadod
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