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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die letzten 3 Dezimalstellen von 3^2017 |
Hallo Zusammen,
ich möchte die letzten 3 Dezimalstellen von 3^2017 bestimmen. Dazu habe ich mir folgendes überlegt.
3^2017 [mm] \equiv [/mm] x (mod 1000)
Der ggT(2017,1000)=1
n=1000 und phi(1000)=400
Nach dem Satz von Euler-Fermat gilt dann:
3^400 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 1000)
Hier komme ich leider nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wenn $3^400=1$ gilt, dann gilt doch auch [mm] $3^k=1$ [/mm] für alle Vielfachen $k$ von $400$. Welches solche $k$ liegt denn möglichst nah an $2017$?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Dann könnte ich doch die Kongruenzgleichung mit 5 potenzieren und erhalte:
[mm] (3^{400})^5 \equiv 1^{5} [/mm] (mod 1000)
[mm] 3^{2000} \equiv [/mm] 1 (mod 1000)
[mm] 3^{2000} [/mm] * [mm] 3^{17} \equiv [/mm] 1 * [mm] 3^{17} [/mm] (mod 1000)
[mm] 3^{2017} \equiv 3^{17} [/mm] (mod 1000)
Jetzt stehe ich vor dem Problem [mm] 3^{17} [/mm] (mod 1000)
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> Dann könnte ich doch die Kongruenzgleichung mit 5
> potenzieren und erhalte:
>
> [mm](3^{400})^5 \equiv 1^{5}[/mm] (mod 1000)
>
> [mm]3^{2000} \equiv[/mm] 1 (mod 1000)
>
> [mm]3^{2000}[/mm] * [mm]3^{17} \equiv[/mm] 1 * [mm]3^{17}[/mm] (mod 1000)
>
> [mm]3^{2017} \equiv 3^{17}[/mm] (mod 1000)
>
> Jetzt stehe ich vor dem Problem [mm]3^{17}[/mm] (mod 1000)
Moin,
so ganz läßt sich das Rechnen nicht vermeiden.
[mm] 3^{17} [/mm] könntest Du z.B. zerlegen in [mm] 3^{17}=3^7*3^7*3^3 [/mm] und dann die Reste mod 1000 betrachten.
LG Angela
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Hallo Angela,
dann also 3^17 [mm] \equiv 3^7 [/mm] * [mm] 3^7 [/mm] * [mm] 3^3 \equiv [/mm] 2187 * 2187 * 27 [mm] \equiv 2187^2 [/mm] * 27 (mod 1000)
Irgendwie kann ich es nicht weiter vereinfachen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Mi 05.07.2017 | | Autor: | abakus |
Hast du in der Grundschule die schriftliche Multiplikation nicht gelernt?
Rechne 187*187.
Multipliziere die aus den letzten drei Ziffern des Ergebnisses entstehende dreistellige Zahl mit 27.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mi 05.07.2017 | | Autor: | fussball99 |
Danke an Alle für die Hilfe. Aufgabe hat sich erledigt.
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