Endomorphismus diagonalisierba < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass jedes [mm] \varphi \in End_K(V) [/mm] mit [mm] \varphi^2 [/mm] = [mm] \varphi [/mm] diagonalisierbar ist. |
Hallo!
Was genau kann ich aus [mm] \varphi^2 [/mm] = [mm] \varphi [/mm] lesen?
Also was ich einsehe ist, dass 1 ein EW sein muss. Woher weiß ich, dass 0 auch ein EW sein muss, und woher, dass Im [mm] \varphi \subseteq [/mm] V(1, [mm] \varphi) [/mm] ?
Wenn ich das verstanden hätte, könnte ich die Aufgabe ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Di 22.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Was du brauchst ist eine Basis aus Eigenvektoren von [mm] $\varphi$. [/mm] Beachte, dass [mm] $V=im(\varphi)\oplus\ker(\varphi)$.
[/mm]
Ist also [mm] $0\ne v\in im(\varphi)$, [/mm] d.h. [mm] $v=\varphi(x)$ [/mm] für ein [mm] $x\in [/mm] V$, so ist [mm] $\varphi(v)=\varphi(\varphi(x))=\varphi(x)=1\cdot [/mm] v$, also ist $v$ Ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Insbesondere gilt also [mm] $im(\varphi)\subseteq E(1,\varphi)$. [/mm] Ist dagegeben [mm] $0\ne v\in\ker(\varphi)$, [/mm] so ist $v$ trivialerweise ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.
Ist also B eine Basis von [mm] $im(\varphi)$ [/mm] und [mm] $B_0$ [/mm] eine Basis von [mm] $\ker(\varphi)$, [/mm] so ist [mm] $B\cup B_0$ [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von [mm] $\varphi$ [/mm] und, die Darstellungsmatrix von [mm] $\varphi$ [/mm] hat bezüglich dieser Basis die Form:
[mm] $\pmat{ 1\\&1\\&&\ddots\\&&&1\\&&&&0\\&&&&&\ddots\\&&&&&&0}$[/mm]
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