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Hallo ihr Lieben!
Bin mir nicht ganz sicher, wie ich an die folgende Aufgabe herangehen soll:
Man gebe für jedes der angegebenen Polynome aus [mm] \IR[x], [/mm] für welches das möglich ist, einen Endomorphismus des [mm] \IR^{3} [/mm] an, der dieses Polynom als Minimalpolynom hat.
a) [mm] x^{2} [/mm] b) [mm] x^{2}-1 [/mm] c) [mm] x^{2}+1 [/mm] d) [mm] x^{3}-1 [/mm] e) [mm] x^{3}-x [/mm] f) [mm] x^{4}-x^{2}-1
[/mm]
So, nun meine Frage: Muss ich jetzt für jedes dieser Polynome z.B. ein [mm] \alpha= x^{3}+2*x^{2}-x+1 [/mm] finden und dann berechnen, ob das Polynom als MinPol passt, oder gibt es da einen leichteren Weg, bei dem ich nicht stundenlang rumprobieren muss?
Ich weiß, dass [mm] m_{\alpha}=x-1 \gdw \alpha=id [/mm] und [mm] m_{\alpha}=x-\lambda \gdw \alpha=\lambda*id [/mm] für [mm] 0\not=\lambda\in [/mm] K, aber irgendwie hilft mir das auch nicht für meine Polynome 2. , 3. und 4. Grades!
Kann mir vielleicht jemand anhand eines Beispieles zeigen, wie ich meine Endomorphismen ermitteln muss?
Wäre echt lieb und eine große Hilfe für mich!
Lieben Gruß Jessi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessi!
Ich mache es dir mal an ein paar Beispielen vor:
[mm] $p(x)=x^2$:
[/mm]
Klar ist, dass die Matrix einen dreifachen Eigenwert $0$ besitzt (das charakteristische Polynom muss gerade gleich [mm] $CP(x)=x^3$ [/mm] sein, da das Minimalpolynom es teilt). Du musst darauf achten, dass $A [mm] \ne [/mm] 0$ gilt (sonst wäre $q(x)=y$ das Minimalpolynom), aber [mm] $A^2=0$.
[/mm]
Dies wird erfüllt von
$A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0}$.
[/mm]
[mm] $p(x)=x^2-1$:
[/mm]
$A$ hat die Eigenwerte $1$ und $-1$. Einer der beiden Eigenwerte hat die algebraische Vielfachheit $2$.
Wichtig ist: Es muss bereits [mm] $A^2-E=0$ [/mm] sein. Das wird erfüllt von
$A= [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}$.
[/mm]
[mm] $p(x)=x^2+1$:
[/mm]
Dies kann kein Minimalpolynom eines Endomorphismus von [mm] $\IR^3$ [/mm] nach [mm] $\IR^3$ [/mm] sein, da es irreduzibel ist. Das charakteristische Polynom muss nämlich eine Nullstelle besitzen, die auch Nullstelle des Minimalpolynoms sein muss.
[...]
[mm] $p(x)=x^4-x^2+1$:
[/mm]
Dies kann ebenfalls kein Minimalpolynom eines Endomorphismus von [mm] $\IR^3$ [/mm] nach [mm] $\IR^3$ [/mm] sein, da es einen Grad größer als $3$ besitzt.
Ich denke den Rest bekommst du jetzt selber hin, oder? 
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Hallo Stefan!
Echt sehr lieb von dir, dass du mir schon wieder hilfst... und das auch noch so schnell!
> Ich mache es dir mal an ein paar Beispielen vor:
>
> [mm]p(x)=x^2[/mm]:
>
> Klar ist, dass die Matrix einen dreifachen Eigenwert [mm]0[/mm]
> besitzt (das charakteristische Polynom muss gerade gleich
> [mm]CP(x)=x^3[/mm] sein, da das Minimalpolynom es teilt). Du musst
> darauf achten, dass [mm]A \ne 0[/mm] gilt (sonst wäre [mm]q(x)=y[/mm] das
> Minimalpolynom), aber [mm]A^2=0[/mm].
>
> Dies wird erfüllt von
>
> [mm]A = \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0}[/mm].
>
> [mm]p(x)=x^2-1[/mm]:
>
> [mm]A[/mm] hat die Eigenwerte [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm]. Einer der beiden Eigenwerte
> hat die algebraische Vielfachheit [mm]2[/mm].
>
> Wichtig ist: Es muss bereits [mm]A^2-E=0[/mm] sein. Das wird erfüllt
> von
>
> [mm]A= \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}[/mm].
>
> [mm]p(x)=x^2+1[/mm]:
>
> Dies kann kein Minimalpolynom eines Endomorphismus von
> [mm]\IR^3[/mm] nach [mm]\IR^3[/mm] sein, da es irreduzibel ist. Das
> charakteristische Polynom muss nämlich eine Nullstelle
> besitzen, die auch Nullstelle des Minimalpolynoms sein
> muss.
>
> [...]
>
> [mm]p(x)=x^4-x^2+1[/mm]:
>
> Dies kann ebenfalls kein Minimalpolynom eines
> Endomorphismus von [mm]\IR^3[/mm] nach [mm]\IR^3[/mm] sein, da es einen Grad
> größer als [mm]3[/mm] besitzt.
>
> Ich denke den Rest bekommst du jetzt selber hin, oder?
Ja, das sollte ich jetzt schaffen, nachdem du mir das so klasse erklärt hast!
nochmals vielen lieben Dank.
Schönen Tag noch... und bis bald Jessi
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