Endomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Di 12.05.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | | Geben Sie sämtliche Endomorphismen von [mm] (\IZ,+) [/mm] an. Untersuchen Sie, welche dieser Endomorphismen injektiv, surjektiv bzwk injektiv sind. |
Also ich weiß, was ein Endomorphismus ist.
[mm] \phi : (\IZ,+) \to (\IZ,+) [/mm].
Aber dann weiß ich nicht so richtig, wie ich anfangen soll.
Vllt kann mir jemand einen Tipp geben.
Vielen Dank
riju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Di 12.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie sämtliche Endomorphismen von [mm](\IZ,+)[/mm] an.
> Untersuchen Sie, welche dieser Endomorphismen injektiv,
> surjektiv bzwk injektiv sind.
> Also ich weiß, was ein Endomorphismus ist.
> [mm]\phi : (\IZ,+) \to (\IZ,+) [/mm].
>
> Aber dann weiß ich nicht so richtig, wie ich anfangen
> soll.
>
> Vllt kann mir jemand einen Tipp geben.
Ist [mm] \phi [/mm] ein solcher Endomorphismus, so gilt doch
[mm] \phi(k+m)=\phi(k)+\phi(m) [/mm] für alle k,m [mm] \in \IZ.
[/mm]
Klar: [mm] \phi(0)=0.
[/mm]
Setze c:= [mm] \phi(1).
[/mm]
Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so ist n=1+1+...+1 ( n Summanden).
Zeige damit: [mm] $\phi(n)=n* \phi(1)=n*c$
[/mm]
Zeige dann weiter: [mm] $\phi(-n)=-n*c$
[/mm]
Fazit: [mm] $\phi(k)=\phi(1)*k$ [/mm] für alle k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Ist umgekehrt a [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] $\phi_a(z):=a*z$ [/mm] für z [mm] \in \IZ, [/mm] so ist [mm] \phi_a [/mm] ein Endomorphismus von $ [mm] (\IZ,+) [/mm] $. Zeige das !
Fazit Fazit:
alle Endomorphismen von von $ [mm] (\IZ,+) [/mm] $ sind von der Form
[mm] $\phi(z)=a*z$ [/mm] für z [mm] \in \IZ,
[/mm]
mit a [mm] \in \IZ.
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank
> riju
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