Endomorphismus-linear unabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 So 06.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallöchen!
habe hier eine Aufgabe, wofür ich einen Ansatz habe, aber
den Beweis nicht so hinkriege:(
Ich freue mich auf eure Hilfe :)
Also die Aufgabe lautet:
Es sei $F$ ein Endomorphismus des Vektorraums $V$ (über irgend einem Körper $K$)
und $v [mm] \in [/mm] V$.
Beweisen Sie:
Es gibt ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $F^{n}(v) \ne [/mm] 0$, aber [mm] $F^{n+1}=0$, [/mm] dann ist die Familie
$v, F(v), [mm] F^2(v),...,F^n(v)$ [/mm] linear unabhängig.
Mein Ansatz:
Also über Endomorphismus habe ich gelesen, dass es die Abbildung in sich selbst ist.
Also dass es im Grunde ein Homomorphismus ist, wobei V=W ist.
Ich konnte aber daraus für diese Aufgabe nicht soviel basteln.
Jedenfalls gilt ja für den Beweis der linearen Unabhängigkeit:
[mm] $v_o \cdot \lambda_0 [/mm] + F(v) [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + [mm] F^2(v) \cdot \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] F^n(v) \cdot \lambda_n [/mm] = 0$ mit
der einzigen Lösung -> [mm] $\lambda_0, \lambda_1, [/mm] ... , [mm] \lambda_n=0$ [/mm] ist.
Ich hoffe jemand kann mir einen Tipp zu einem richtigen Ansatz geben.
Schönen Sonntag noch
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 So 06.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> Es sei $F$ ein Endomorphismus des Vektorraums $V$ (über
> irgend einem Körper $K$)
> und $v [mm] \in [/mm] V$.
> Beweisen Sie:
> Es gibt ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $F^{n}(v) \ne [/mm] 0$, aber
> [mm] $F^{n+1}=0$, [/mm] dann ist die Familie
>
> $v, F(v), [mm] F^2(v),...,F^n(v)$ [/mm] linear unabhängig.
>
>
>
> Mein Ansatz:
>
> Also über Endomorphismus habe ich gelesen, dass es die
Sehr vorbildlich 
> Abbildung in sich selbst ist.
> Also dass es im Grunde ein Homomorphismus ist, wobei V=W
> ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Homomorphismen zwischen Vektorräumen sind auch bekannt unter dem Namen lineare Abbildung...
> Ich konnte aber daraus für diese Aufgabe nicht soviel
> basteln.
>
> Jedenfalls gilt ja für den Beweis der linearen
> Unabhängigkeit:
>
>
>
> [mm] $v_o \cdot \lambda_0 [/mm] + F(v) [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + [mm] F^2(v) \cdot \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] F^n(v) \cdot \lambda_n [/mm] = 0$ mit
>
> der einzigen Lösung -> [mm] $\lambda_0, \lambda_1, [/mm] ... , [mm] \lambda_n=0$ [/mm] ist.
Der Ansatz ist schon mal sehr gut.
Jetzt mußt du noch irgendwie die spezielle Eigenschaft von F ausnutzen.
Tipp: Wende auf die Gleichung $v [mm] \cdot \lambda_0 [/mm] + F(v) [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + [mm] F^2(v) \cdot \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] F^n(v) \cdot \lambda_n [/mm] = 0$ (n-1) Mal die Abbildung F (auf beiden Seiten der Gleichung an). Was folgt dann unmittelbar? Wie kann man diese Erkenntnis auch auf die anderen [mm] \lambda_i [/mm] ausweiten?
Viel Spaß beim Lösen,
Marc
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