Endomorphismen/Jordannormalfor < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Sa 02.02.2008 | | Autor: | ossi83 |
| Aufgabe | Konstruieren Sie zwei Endomorphismen S und T des [mm] \IR^7 [/mm] mit den Eigenschaften:
a) [mm] P_{S}(t)=P_{T}(t)=(t+2)^7, (P_{S}(t) [/mm] ist dabei das char. Polynom)
b) [mm] m_{S}(t)=m_{T}(t), [/mm] ( [mm] m_{S}(t) [/mm] ist dabei das Minimalpolynom)
c) [mm] dim(E_{-2}(S))=dim (E_{-2}(T))
[/mm]
d) S und T haben unterschiedliche Jordan-Normalformen
Dabei gelten hier zwei Jordan-Normalformen als gleich, wenn sie die gleichen Jordan-Blöcke haben (Reihenfolge der Blöcke vertauschen reicht also nicht!) |
Hallo Liebes Forum!!!
Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe.
1) Am char. Polynom kann man ja ablesen, wie oft der jeweilige Eig.wert in der Jordanmatrix vorkommt.
2) Am Minimalpolynom kann man ablesen, wie lang der längste Block bzgl. des jeweiligen Eig.wert ist.
3) An der Dimension des Eigenraumes sieht man, wieviele Blöcke zum jeweiligen Eig.wert vorkommen.
Frage: Wie sollen S und T da noch unterschiedliche Jordanformen haben? Irgendwie verwirrt mich die Aufgabe und da das Thema noch nicht so alt ist, fehlt mir irgendwie das rechte Verständniss.
Wäre nett, wenn jemand einen Ansatz hätte und mich in die richtige Richtung bringen könnte.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Sa 02.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> 1) Am char. Polynom kann man ja ablesen, wie oft der
> jeweilige Eig.wert in der Jordanmatrix vorkommt.
>
> 2) Am Minimalpolynom kann man ablesen, wie lang der längste
> Block bzgl. des jeweiligen Eig.wert ist.
>
> 3) An der Dimension des Eigenraumes sieht man, wieviele
> Blöcke zum jeweiligen Eig.wert vorkommen.
>
> Frage: Wie sollen S und T da noch unterschiedliche
> Jordanformen haben?
Naja, das ist die Aufgabe ... du hast blos Anzahl der Blöcke und wie lang der längste ist. Also, ich gebe mal als Hilfe: [m]7=3+2+2=3+3+1[/m]. Kannst du dir denken was die Zahlen bedeuten könnten und wie man auf zwei unterschiedliche kommt?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 So 03.02.2008 | | Autor: | ossi83 |
Ich denke, die Zahlen sind die Länge der Jordankästchen in diesem Block.
Muss ich dann die Endomorphismen auf einer Basis angeben, oder...?
Irgendwie fehlt mir jegliche Idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 03.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> Ich denke, die Zahlen sind die Länge der Jordankästchen in
> diesem Block.
Na also - und jetzt mal zwei solche hinmalen!
> Muss ich dann die Endomorphismen auf einer Basis angeben,
> oder...?
Wie wäre es denn als Matrix zur Standardbasis? hm?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 03.02.2008 | | Autor: | ossi83 |
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 } =:J_{1} [/mm] ,
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 } =:J_{2}
[/mm]
So könnten die Jordan-Normalformen ja aussehen, damit sie nicht gleich sind und dennoch die Eigenschaften b), c) und d) erfüllen.
Geh ich jetzt recht in der Annahme, dass [mm] \IR^7=U_{1} \oplus U_{2} \oplus U_{3}, [/mm] wobei die [mm] U_{i} [/mm] S bzw. T-zyklische Unterräume sind? Oder müsst ich noch eine Zerlegungsstufe tiefer gehen?
Tut mir leid wenn ich nerve, aber ich würd gern verstehen, was ich zu tun hab und was ich da mach.
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> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 } =:J_{1}[/mm]
> ,
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 } =:J_{2}[/mm]
>
>
> So könnten die Jordan-Normalformen ja aussehen, damit sie
> nicht gleich sind und dennoch die Eigenschaften b), c) und
> d) erfüllen.
>
> Geh ich jetzt recht in der Annahme, dass [mm]\IR^7=U_{1} \oplus U_{2} \oplus U_{3},[/mm]
> wobei die [mm]U_{i}[/mm] S bzw. T-zyklische Unterräume sind? Oder
> müsst ich noch eine Zerlegungsstufe tiefer gehen?
Hallo,
ich nehme mal sehr stark an, daß Du unter [mm] U_i [/mm] das verstehst, was ich mir denke - schreiben tust Du es allerdings nirgends.
Was hast Du denn jetzt vor? Wofür willst Du wohin herunter gehen?
Möchtest Du nicht eigentlich zwei Endomorphismen angeben?
Du hast doch jetzt schon zwei Darstellungsmatrizen. Nimm an, daß sie bzgl der Standardbasis sind.
Du kannst doch jetzt [mm] T(\vektor{x_1 \\...\\ x_7}) [/mm] und [mm] S(\vektor{x_1 \\...\\ x_7}) [/mm] angeben und bist eigentlich fertig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mo 04.02.2008 | | Autor: | ossi83 |
> Du kannst doch jetzt [mm]T(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm] und
> [mm]S(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm] angeben und bist eigentlich
> fertig.
Also wenn ich jetzt z.B. für S schreiben würde
[mm]S(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm]=[mm]\vektor{-2x_1 \\x_1-2x_2\\x_2-2x_3\\-2x_4\\x_4-2x_5\\-2x_6\\ x_6-2x_7}[/mm]
wäre ich dann auf einem guten Weg?
Wenn ja, dann weiß ich jetzt wie es geht und bedanke mich bei euch beiden.
LG
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> > Du kannst doch jetzt [mm]T(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm] und
> > [mm]S(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm] angeben und bist eigentlich
> > fertig.
>
> Also wenn ich jetzt z.B. für S schreiben würde
>
> [mm]S(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm]=[mm]\vektor{-2x_1 \\x_1-2x_2\\x_2-2x_3\\-2x_4\\x_4-2x_5\\-2x_6\\ x_6-2x_7}[/mm]
>
> wäre ich dann auf einem guten Weg?
Hallo,
Du hast jedenfalls verstanden, was ich von Dir will - die Durchführung ist noch verkehrt.
Nehmen wir
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 } =:J_{1}, [/mm]
die zugehörige Abbildung sei S.
Du bekommst doch
S(x), indem Du J_1x rechnest. Mach das mal.
Dann wirst Du sehen, daß das, was in der ersten Zeile der Matrix steht, sehr viel mit der ersten Komponente v. S(x) zu tun hat, das in der zweiten mit der zweiten usw.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Mo 04.02.2008 | | Autor: | ossi83 |
> > [mm]S(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm]=[mm]\vektor{-2x_1 \\x_1-2x_2\\x_2-2x_3\\-2x_4\\x_4-2x_5\\-2x_6\\ x_6-2x_7}[/mm]
Also dann vielleicht doch eher
[mm]S(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm]=[mm]\vektor{-2x_1+x_2 \\-2x_+x_3\\-2x_3\\-2x_4+x_5\\-2x_5\\-2x_6+x_7\\-2x_7}[/mm]
Ich versteh nur nicht, wieso ich S(x) bekomme, indem ich einen Vektor mit der Matrix multipliziere....
Gruß ossi
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> Also dann vielleicht doch eher
>
> [mm]S(\vektor{x_1 \\...\\ x_7})[/mm]=[mm]\vektor{-2x_1+x_2 \\-2x_+x_3\\-2x_3\\-2x_4+x_5\\-2x_5\\-2x_6+x_7\\-2x_7}[/mm]
Ja, so.
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> Ich versteh nur nicht, wieso ich S(x) bekomme, indem ich
> einen Vektor mit der Matrix multipliziere....
Du multiplizierst den Vektor ja nicht mit irgendeiner Matrix. Wir hatten ja gesagt, [mm] J_1 [/mm] soll die darstellende Matrix einer Abbildung S sein.
Vielleicht solltest Du das Kapitel über lineare Abbildungen und ihre Darstellung durch Matrizen nochmal durcharbeiten - ich glaube, Du hast da Lücken.
Deine Fragen dazu kannst Du dann gerne im Forum stellen, aber es wäre ja sinnlos, wenn ich hier das Kapitel eines Buches aufschreiben würde, wo es schon so viele Bücher gibt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Mo 04.02.2008 | | Autor: | ossi83 |
Ich glaub das werd ich sowieso müssen, aber auf jeden Fall möcht ich dir sehr für deine Mühe danken.
LG ossi
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