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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:47 Sa 26.04.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien [mm]A, B \in M(n \times n, K)[/mm].
1. Zeigen Sie, dass die Abbildungsvorschrift
[mm]\Phi (M) =AMB[/mm]
einen Endomorphismus des K-Vektroraumes M(n [mm] \times [/mm] n, K)[/mm] definiert.
2. Berechnen Sie die Wirkung von [mm]\Phi[/mm] auf die Basismatrizen. (Das sind solche Matrizen deren Einträge alle verschwinden, bis auf einen einzigen Eintrag mit dem Wert 1.)
3. Bestimmen Sie die Determinante von [mm]\Phi[/mm] als Funktion von det(A) und det(B). |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
N'Abend,
ich sitze gerade an obriger Aufgabe und komme einfach nicht weiter.
1.
Endomorphismus heißt ja eine Struktur auf sich selbst.
Aber wieso ist das hier der Fall ich multipliziere doch nur an M von links und rechts zwei unterschiedliche Matrizen ran. Kann ich dann sagen dass es immer noch die selbe Struktur hat, weil es nur ein vielfaches ist?
Dann such ich mir halt zwei Endomorphismen:
[mm]\Psi_1 und \Psi_2 \in M(n \times n, K)[/mm]
[mm]\Psi_1 (M) = AM[/mm]
[mm]\Psi_2 (M) = MB[/mm]
Wenn ich die beiden Verknüpfe bekomme ich:
[mm]\Psi_1 \circ \Psi_2 = AM(MB)[/mm]
Aber irgendwie seh ich nicht wirklich das es mich weiter bringt?
2. Ich nehme mir hier eine Basismatrix B und setze sie jetzt an stelle des M:
[mm]\phi (B_{ij})= AB_{ij}B[/mm]
dann multiplizieren, da lauf ich am besten mit einem Summenzeichen durch:
[mm](\summe_{k,l}^{?}a_{kl}B_{kl}B_{ij})B[/mm]
Ähm das letze B hier ist die Matrix und nicht die Basismatrix (ist etwas verwirrend).
Dann ziehe ich die Elemente von B rein:
[mm]\summe_{k,l,m}^{?}a_{kl}B_{kl}B_{ij} b_{lm}[/mm]
ziehe das dann auseinander:
[mm](\summe_{k}^{?}a_{ki}B_{kj}) (\summe_{l,m}^{?}B_{l,m})b_{lm}[/mm]
[mm]=\summe_{km}^{}a_{k,i}*b_{jm}B_{km}[/mm]
Ist das richtig ausmultipliziert oder hab ich noch irgendwo einen Indexfehler? Aber wirklich am Ende bin ich ja auch nicht oder ist die Wirkung das [mm]\Phi [/mm] das Summenzeichen?
3.
Bei B schaue ich mir jetzt den Unterraum von M an, und zwar den in dem die Basismatrix mit gleichen j aufgespannt wird, weil dan [mm]\Psi[/mm] immer dargestellt wird.
So erhält man n Matrixblöcke mit A.
Und wenn ich einen Unterraum von M betrachte, wo die Basismatric mit gleichem i aufgespannt wird, erhalte ich n Matrixblöcke mit B.
Wenn ich dass dann zusammen stecke bekomme ich
[mm]det \Phi = det(A*B)*n[/mm]
oder?
Grüße,
Marie
[mm][/mm]
[mm][/mm]
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[mm][/mm]
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:14 So 27.04.2008 | | Autor: | lenz |
hallo sitze auch grade an der aufgabe und habe mich bei teil 3 gefragt
was mit funktion von det A und det B gemeint ist,also irgendwie muss es ja auch noch von M
abhängen also det [mm] \phi [/mm] (M) =det A*det M*det B (also irgendwie hab ich keine vorstellung
was gemeint ist)
wenn mir vielleicht jemand einen hinweis geben könnte
lenz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 29.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei K ein Körper und seien [mm]A, B \in M(n \times n, K)[/mm].
> 1.
> Zeigen Sie, dass die Abbildungsvorschrift
> [mm]\Phi (M) =AMB[/mm]
> einen Endomorphismus des K-Vektroraumes M(n
> [mm]\times[/mm] n, K)[/mm] definiert.
> 2. Berechnen Sie die Wirkung von [mm]\Phi[/mm] auf die
> Basismatrizen. (Das sind solche Matrizen deren Einträge
> alle verschwinden, bis auf einen einzigen Eintrag mit dem
> Wert 1.)
> 3. Bestimmen Sie die Determinante von [mm]\Phi[/mm] als Funktion
> von det(A) und det(B).
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite
> gestellt.
>
> N'Abend,
> ich sitze gerade an obriger Aufgabe und komme einfach
> nicht weiter.
>
> 1.
> Endomorphismus heißt ja eine Struktur auf sich selbst.
> Aber wieso ist das hier der Fall ich multipliziere doch
> nur an M von links und rechts zwei unterschiedliche
> Matrizen ran. Kann ich dann sagen dass es immer noch die
> selbe Struktur hat, weil es nur ein vielfaches ist?
Hallo,
Du unterliegst einer Verwirrung.
In Deiner Aufgabe sind zwei verschiedene "groß M" im Spiel: einmal M(n [mm] \times [/mm] n, K), die nxn-Matrizen mit Einträgen aus K, und einmal das M in [mm] \Phi [/mm] (M) :=AMB. Dieses M ist eine beliebige Matrix aus M(n [mm] \times [/mm] n, K).
Du mußt zeigen, daß [mm] \Phi [/mm] von M(n [mm] \times [/mm] n, K) nach M(n [mm] \times [/mm] n, K) abbildet, und daß die (für feste Matrizen A,B) durch
[mm] \Phi [/mm] (M) :=AMB für alle [mm] M\in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K) definierte Abbildung linear ist.
Es ist also u.a. zu zeigen, daß [mm] \Phi(M_1+M_2)=\Phi(M_1)+\Phi(M_2) [/mm] richtig ist.
Nichts mit zwei Endomorphismen.
Gruß v. Angela
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