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Hi,
ich habe ein kleines Problem mit der folgenden Aufgabe:
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum, sei f: V---> V ein Endomorphismus.
Zeige: Es gibt f-invariante Unterräume [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] mit V = [mm] V_1 \oplus [/mm] (soll direkte Summe heißen) [mm] V_2, [/mm] sodass gilt: Die Einschränkung f | [mm] V_1 [/mm] ist nilpotent, dagegen ist die Einschränkung f | [mm] V_2 [/mm] ein Isomorphismus [mm] V_2 [/mm] ---> [mm] V_2.
[/mm]
Ich habe versucht, da über Eigenwerte ranzugehen, weiß aber absolut nicht ob ich mir im gewissen Sinne irgendeine Matrix so stricken soll, dass das eintritt (und da weiß ich noch nicht so genau wie), oder ob man da anders herangeht.
Wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sebastian!
Definiere:
[mm] $V_1:=Kern(f^s)$,
[/mm]
[mm] $V_2:=Bild(f^s$),
[/mm]
wobei $s [mm] \in \IN$ [/mm] minimal mit der Eigenschaft ist, dass die Folge aufsteigender Unterräume
$Kern(f) [mm] \subset Kern(f^2) \subset \ldots$
[/mm]
stationär wird, also:
[mm] $Kern(f^s) [/mm] = [mm] Kern(f^{s+1})$,
[/mm]
aber:
[mm] $Kern(f^{s-1}) \subsetneq Kern(f^s)$.
[/mm]
Ist dir jetzt klar, warum dann alles erfüllt ist? Versuche dir das bitte mal selber zu überlegen und teile uns deine Gedanken bitte zur Kontrolle hier mit. 
Viele Grüße
Stefan
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