Endlichkeit eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:05 Do 13.05.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
Betrachte für [mm] $0<\alpha<<1$ [/mm] die Funktion
[mm] $\cosh\left(\alpha\cdot\left\|x\right\|\right)=\frac{1}{2}\left(e^{\alpha\left\|x\right\|}+e^{-\alpha\left\|x\right\|}\right)$, $x\in\IR^2$
[/mm]
wobei [mm] $\left\|x\right\|$ [/mm] die euklidische Norm im [mm] $\IR^2$ [/mm] bezeichnet. Weiter sei eine Funktion [mm] $g:\IR^2\rightarrow\IR$ [/mm] gegeben (eventuell ein paar mal stetig differenzierbar). Welche Bedingungen muss die Funktion $g$ erfüllen, damit das folgende Integral einen endlichen Wert besitzt:
[mm] $\int_{\IR^2}\left|\cosh(\alpha\left\|x\right\|)\cdot g(x)\right|^2\,dx<\infty$
[/mm]
Ich wäre äußerst dankbar, wenn jemand eine Ansatz hätte, der dies garantieren könnte.
(Der Hintergrund meiner Frage ist, dass ich das Integral
[mm] $\int_{\IR^2}\left|u(x)\cdot\cosh^2(\alpha\left\|x\right\|)\cdot g(x)\right|^2\,dx$
[/mm]
so abschätzen muss, dass ich etwas der folgenden Form erhalte
[mm] $\int_{\IR^2}\left|u(x)\cdot\cosh^2(\alpha\left\|x\right\|)\cdot g(x)\right|^2\,dx\leqslant C\cdot\left(\int_{\IR^2}\left|u(x)\cosh(\alpha\left\|x\right\|)\right|^2\,dx\right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
Wende ich auf die vorletzte Zeile die Cauchy-Schwarz-Ungleichung an, so ist
[mm] $C=\left(\int_{\IR^2}\left|\cosh(\alpha\left\|x\right\|)\cdot g(x)\right|^2\,dx\right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
gerade das Integral von oben.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Welche Bedingungen muss die Funktion [mm]g[/mm] erfüllen, damit das
> folgende Integral einen endlichen Wert besitzt:
> [mm]\int_{\IR^2}\left|\cosh(\alpha\left\|x\right\|)\cdot g(x)\right|^2\,dx<\infty[/mm]
Eine hinreichende ist, dass g kompakten Träger hat - damit geht es immer. Ansonsten sind die Funktionen wohl genau über diese Eigenschaft definiert.
Zu deinem eigentlichen Problem: was willst du genau machen? Im Zweifel hängt das alles noch von u ab.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Do 13.05.2010 | | Autor: | Denny22 |
> > Welche Bedingungen muss die Funktion [mm]g[/mm] erfüllen, damit das
> > folgende Integral einen endlichen Wert besitzt:
> >
> [mm]\int_{\IR^2}\left|\cosh(\alpha\left\|x\right\|)\cdot g(x)\right|^2\,dx<\infty[/mm]
>
> Eine hinreichende ist, dass g kompakten Träger hat - damit
> geht es immer. Ansonsten sind die Funktionen wohl genau
> über diese Eigenschaft definiert.
>
> Zu deinem eigentlichen Problem: was willst du genau machen?
> Im Zweifel hängt das alles noch von u ab.
>
> SEcki
Okay, die Idee ist mir gerade auch in den Sinn gekommen. Zeigen möchte ich, etwas wie
[mm] $(...)\leqslant C\left\|\cosh(\alpha\left\|\bullet\right\|)u(\bullet)\right\|_{L^2(\IR^2,\IR^m)}$
[/mm]
denn ganz links von meiner Ungleichungskette (die ich hier nicht hingeschrieben habe) habe ich den quadratischen Ausdruck
[mm] $\left\|\cosh(\alpha\left\|\bullet\right\|)u(\bullet)\right\|_{L^2(\IR^2,\IR^m)}^2$
[/mm]
stehen und dann lässt sich die [mm] $L^2$-Norm [/mm] auf beiden Seiten kürzen und ich habe
[mm] $\left\|\cosh(\alpha\left\|\bullet\right\|)u(\bullet)\right\|_{L^2(\IR^2,\IR^m)}\leqslant [/mm] C$
Genau das ist das was ich am Ende benötige.
Vielen Dank und einen schönen Feiertag.
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