Endliche Lineare Ornung, dicht < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Seien (M,<_M) und (N,<_N) zwei abzählbare dichte lineare ordnungen ( ist eine [mm] \{<\} [/mm] Struktur, die die Eigenschaften einer linearen Ordnung erfüllen,sowie dicht und ohne Endpunkte)
Wieso gilt:
Jede partielle endliche Isomorphismus f:M->N (Definition*) läßt sich zu einem endlichen partiellen Isomorphismus f':M->N fortsetzten, der ein vorgegebenes Element von M (oder N) im Definitionsbereich (bzw. Bildbereich) enthält.
Und wieso soll dass Argumentation genug sein für: Je zwei abzählbare DLO's (dichte lineare Ordnungen) sind isomorph? |
Frage 1:
(*) hab ich definiton nachgeschaut im Skript.
Ein endlicher partieller Isomorphismus zwischen M und N ist ein Isomorphismus zwischen (endlichen) Teilmengen von M und N.
Was bedeutet dies:
Hab ich so verstanden: Zu jeden isomorphismus zwischen endlichen Teilmengen von M und N und jedem a [mm] \in [/mm] M gibt es einen isomorphismus zwischen endlichen Teilmengen von M und N mit a im Definitonsbereich.
Unter Wikipedia bin ich fündig geworden:
> "Jeder partielle Isomorphismus [mm] h:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B} [/mm] mit endlichem Definitionsbereich lässt sich zu einem weiteren partiellen Isomorphismus auf ein beliebiges Element fortsetzen. Ist etwa [mm] \mathrm{def}(h) [/mm] = [mm] \{a_1,\ldots, a_n\} [/mm] und ist [mm] a\in \mathcal{A} [/mm] ein weiteres Element, so kann man wegen der Dichtheit von [mm] \mathcal{B} [/mm] ein Element [mm] b\in\mathcal{B} [/mm] finden, das zu [mm] h(a_1),\ldots, h(a_n) [/mm] in denselben Größenbeziehungen steht wie a zu [mm] a_1,\ldots, a_n. [/mm] Die Festlegung
> [mm] g(a_i) [/mm] := [mm] h(a_i),\,i\in \{1,\ldots, n\},\quad [/mm] g(a) = b
> definiert dann einen partiellen Isomorphismus [mm] g:\mathcal{A} \rightarrow\mathcal{B}, [/mm] der h auf das Element a fortsetzt. Dasselbe gilt für [mm] h^{-1}, [/mm] da auch [mm] \mathcal{A} [/mm] dicht ist. Setzt man daher
> [mm] I_n [/mm] := [mm] \{ h:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B};\, h \mbox{ partieller Isomorphismus mit endlichem Definitionsbereich}\},
[/mm]
> so definiert [mm] (I_n)_{n\in \N} [/mm] eine endliche Isomorphie zwischen [mm] \mathcal{A} [/mm] und [mm] \mathcal{B}. [/mm] "
Ich verstehe hier aber nicht 100% wieso aus der Dichtheit von [mm] \mathcal{B} [/mm] die oben beschriebene Eigenschaft folgt.
Die aussage:"in denselben Größenbeziehungen steht wie" interpretiere ich so: wenn [mm] f(a_4) [/mm] < b < [mm] f(a_2) [/mm] ist => [mm] a_4 [/mm] < a < [mm] a_2
[/mm]
Auch verstehe ich die Festsetzung nicht, wie das gemeint ist:
> $ [mm] g(a_i) [/mm] $ := $ [mm] h(a_i),\,i\in \{1,\ldots, n\},\quad [/mm] $ g(a) = b
Braucht man gar nicht die anderen Eigenschaften der DLO´s?
Frage2:
ZuZeigen wäre :
Es existiert eine Bijektion l : M->N und
a <_M b <=> l(a) <_N l(b)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Do 18.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu-,
> Seien (M,<_M) und (N,<_N) zwei abzählbare dichte lineare
> ordnungen ( ist eine [mm]\{<\}[/mm] Struktur, die die Eigenschaften
> einer linearen Ordnung erfüllen,sowie dicht und ohne
> Endpunkte)
Zusätzlich sollte man fordern, dass $M$ und $N$ nichtleer sind. Sonst stimmen die weiteren Aussagen i.A. nicht.
> Wieso gilt:
> Jede partielle endliche Isomorphismus f:M->N (Definition*)
> läßt sich zu einem endlichen partiellen Isomorphismus
> f':M->N fortsetzten, der ein vorgegebenes Element von M
> (oder N) im Definitionsbereich (bzw. Bildbereich)
> enthält.
>
> Und wieso soll dass Argumentation genug sein für: Je zwei
> abzählbare DLO's (dichte lineare Ordnungen) sind
> isomorph?
> Frage 1:
> (*) hab ich definiton nachgeschaut im Skript.
> Ein endlicher partieller Isomorphismus zwischen M und N
> ist ein Isomorphismus zwischen (endlichen) Teilmengen von M
> und N.
>
> Was bedeutet dies:
> Hab ich so verstanden: Zu jeden isomorphismus zwischen
> endlichen Teilmengen von M und N und jedem a [mm]\in[/mm] M gibt es
> einen isomorphismus zwischen endlichen Teilmengen von M
> und N mit a im Definitonsbereich.
Ja.
> Unter Wikipedia bin ich fündig geworden:
> > "Jeder partielle Isomorphismus
> [mm]h:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}[/mm] mit endlichem
> Definitionsbereich lässt sich zu einem weiteren partiellen
> Isomorphismus auf ein beliebiges Element fortsetzen. Ist
> etwa [mm]\mathrm{def}(h)[/mm] = [mm]\{a_1,\ldots, a_n\}[/mm] und ist [mm]a\in \mathcal{A}[/mm]
> ein weiteres Element, so kann man wegen der Dichtheit von
> [mm]\mathcal{B}[/mm] ein Element [mm]b\in\mathcal{B}[/mm] finden, das zu
> [mm]h(a_1),\ldots, h(a_n)[/mm] in denselben Größenbeziehungen
> steht wie a zu [mm]a_1,\ldots, a_n.[/mm]
"wegen der Dichtheit von [mm] $\mathcal{B}$" [/mm] finde ich ein wenig knapp als Begründung dieser Überlegung. Hier gehen neben den Eigenschaften einer linearen Ordnung auch ein, dass [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] keine Endpunkte hat und (für den Fall $n=0$ benötigt:) nichtleer ist.
> Die Festlegung
>
> > [mm]g(a_i)[/mm] := [mm]h(a_i),\,i\in \{1,\ldots, n\},\quad[/mm] g(a) = b
>
> > definiert dann einen partiellen Isomorphismus [mm]g:\mathcal{A} \rightarrow\mathcal{B},[/mm]
> der h auf das Element a fortsetzt. Dasselbe gilt für
> [mm]h^{-1},[/mm] da auch [mm]\mathcal{A}[/mm] dicht ist. Setzt man daher
>
> > [mm]I_n[/mm] := [mm]\{ h:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B};\, h \mbox{ partieller Isomorphismus mit endlichem Definitionsbereich}\},[/mm]
>
> > so definiert [mm](I_n)_{n\in \N}[/mm] eine endliche Isomorphie
> zwischen [mm]\mathcal{A}[/mm] und [mm]\mathcal{B}.[/mm] "
Mit endlicher Isomorphie kenne ich mich nicht aus. Diesen Begriff benötigen wir aber auch nicht.
> Ich verstehe hier aber nicht 100% wieso aus der Dichtheit
> von [mm]\mathcal{B}[/mm] die oben beschriebene Eigenschaft folgt.
> Die aussage:"in denselben Größenbeziehungen steht wie"
> interpretiere ich so: wenn [mm]f(a_4)[/mm] < b < [mm]f(a_2)[/mm] ist => [mm]a_4[/mm] <
> a < [mm]a_2[/mm]
Ja. [mm] $b
> Auch verstehe ich die Festsetzung nicht, wie das gemeint
> ist:
> > [mm]g(a_i)[/mm] := [mm]h(a_i),\,i\in \{1,\ldots, n\},\quad[/mm] g(a) = b
g soll die Abbildung [mm] $\{a_1,\ldots,a_n,a\}\to\mathcal{B}$ [/mm] sein, die sich wie h verhält, nur (evt.) zusätzlich $a$ auf $b$ abbildet.
> Braucht man gar nicht die anderen Eigenschaften der
> DLO´s?
Doch.
> Frage2:
> ZuZeigen wäre :
> Es existiert eine Bijektion l : M->N und
> a <_M b <=> l(a) <_N l(b)
Hier benötigt man ein so genanntes Back-and-Forth-Argument.
Da M und N nichtleer und abzählbar sind, lassen sie sich in der Form
[mm] $M=\{a_0,a_1,a_2,\ldots\}$
[/mm]
und
[mm] $N=\{b_0,b_1,b_2,\ldots\}$
[/mm]
schreiben.
Nun basteln wir eine Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN_0}$ [/mm] von partiellen Isomorphismen [mm] $f_n\colon M\to [/mm] N$ mit folgenden Eigenschaften:
1. [mm] $\operatorname{def}(f_n)\subseteq\operatorname{def}(f_{n+1})$ [/mm] und [mm] $\operatorname{bild}(f_n)\subseteq\operatorname{bild}(f_{n+1})$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
2. [mm] $f_{n+1}(a)=f_n(a)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und alle [mm] $a\in\operatorname{def}(f_n)$ [/mm]
3. [mm] $\operatorname{def}(f_{2n})\ni a_n$ [/mm] und [mm] $\operatorname{bild}(f_{2n+1})\ni b_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$.
[/mm]
Versuche mal, eine solche Folge mithilfe der Hilfsaussage aus der Mitte der Aufgabenstellung zu konstruieren!
Zeige danach: Dann ist
[mm] $f\colon M\to N,\quad a_n\mapsto f_{2n}(a_n)$
[/mm]
ein wohldefinierter Isomorphismus.
Viele Grüße
Tobias
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