Endlich galoissche Erweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 10.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] $L/K\:$ [/mm] endlich galoissch, $H < [mm] Gal(L/K)\:$
[/mm]
(i) Sei [mm] $\alpha \in [/mm] L$ und für [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K)$ gelte: [mm] $\sigma(\alpha)=\alpha \gdw \sigma \in [/mm] H$. Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm] $L^{H}=K(\alpha)$
[/mm]
(ii) Begründe, dass es zu H stets ein [mm] $\alpha$ [/mm] wie in (i) gibt. |
Hallo,
meine Ansätze:
(i) Zunächst gilt [mm] $K(\alpha) \subset L^H$, [/mm] denn [mm] $\sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in [/mm] H$. Also liegt [mm] $\alpha$ [/mm] sicher im Fixkörper von [mm] $H\:$.
[/mm]
Probleme macht die Inklusion [mm] $L^H \subset K(\alpha)$. [/mm] Da [mm] $L/K\:$ [/mm] endlich galoissch ist, ist [mm] $L^H/K\:$ [/mm] endlich und separabel, besitzt also ein primitives Element. Ich muss nun zeigen, dass [mm] $\alpha$ [/mm] ein solches primitives Element ist.
Ich weiß noch, dass [mm] $L/L^H$ [/mm] eine galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe [mm] $H\:$ [/mm] ist. Damit folgt aus dem Gradsatz: $[L:K] = [mm] [L:L^H][L^H:K] \Rightarrow ord\:Gal(L/K) [/mm] = [mm] ord\:H\: \cdot\:[L^H:K] \Rightarrow [L^H:K] [/mm] = [mm] \frac{ord\:Gal(L/K)}{ord\:H}$.
[/mm]
Andererseits ist [mm] $\sigma(\alpha) \not= \alpha$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \backslash [/mm] H$. Kann ich daraus irgendwas über den Grad [mm] $[K(\alpha):K]$ [/mm] schließen, um damit dann [mm] $L^H [/mm] = [mm] K(\alpha)$ [/mm] zu zeigen?
(ii) Sei [mm] $\alpha$ [/mm] ein primitives Element der Erweiterung [mm] $L^H/K\:$. [/mm] Es gilt dann, da [mm] $\alpha \in L^H: \sigma(\alpha)=\alpha$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in [/mm] H$. Ist andererseits [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \backslash [/mm] H [mm] \Rightarrow \sigma(\alpha) \not= \alpha$, [/mm] denn: Wäre [mm] $\sigma(\alpha)=\alpha \Rightarrow$ [/mm] der Fixkörper [mm] $L^U\:$ [/mm] der kleinsten Untergruppe [mm] $U\:$ [/mm] von [mm] $Gal(L/K)\:$, [/mm] die [mm] $H\:$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] enthält, würde [mm] $L^H\:$ [/mm] enthalten. Es folgt jedoch aus $H [mm] \subset [/mm] U: [mm] L^U \subset L^H$. [/mm] Also haben wir einen Widerspruch. Folglich [mm] $\sigma(\alpha) \not= \alpha$, [/mm] falls [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \backslash [/mm] H$
Damit ist ein [mm] $\alpha$ [/mm] wie in (i) gefunden.
Stimmt das?
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Do 10.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]L/K\:[/mm] endlich galoissch, [mm]H < Gal(L/K)\:[/mm]
> (i) Sei [mm]\alpha \in L[/mm]
> und für [mm]\sigma \in Gal(L/K)[/mm] gelte: [mm]\sigma(\alpha)=\alpha \gdw \sigma \in H[/mm].
> Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm]L^{H}=K(\alpha)[/mm]
Die Menge aller [mm] $\sigma$ [/mm] mit [mm] $\sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm] ist uebrigens immer eine Untergruppe, und zwar der Stabilisator von [mm] $\alpha$.
[/mm]
> (ii) Begründe, dass es zu H stets ein [mm]\alpha[/mm] wie in (i)
> gibt.
> Hallo,
>
> meine Ansätze:
>
> (i) Zunächst gilt [mm]K(\alpha) \subset L^H[/mm], denn
> [mm]\sigma(\alpha) = \alpha[/mm] für alle [mm]\sigma \in H[/mm]. Also liegt
> [mm]\alpha[/mm] sicher im Fixkörper von [mm]H\:[/mm].
> Probleme macht die Inklusion [mm]L^H \subset K(\alpha)[/mm]. Da
> [mm]L/K\:[/mm] endlich galoissch ist, ist [mm]L^H/K\:[/mm] endlich und
> separabel, besitzt also ein primitives Element. Ich muss
> nun zeigen, dass [mm]\alpha[/mm] ein solches primitives Element
> ist.
> Ich weiß noch, dass [mm]L/L^H[/mm] eine galoissche Erweiterung mit
> Galoisgruppe [mm]H\:[/mm] ist. Damit folgt aus dem Gradsatz: [mm][L:K] = [L:L^H][L^H:K] \Rightarrow ord\:Gal(L/K) = ord\:H\: \cdot\:[L^H:K] \Rightarrow [L^H:K] = \frac{ord\:Gal(L/K)}{ord\:H}[/mm].
Also gleich $[G : H]$.
> Andererseits ist [mm]\sigma(\alpha) \not= \alpha[/mm] für alle
> [mm]\sigma \in Gal(L/K) \backslash H[/mm]. Kann ich daraus irgendwas
> über den Grad [mm][K(\alpha):K][/mm] schließen, um damit dann [mm]L^H = K(\alpha)[/mm]
> zu zeigen?
Sei [mm] $\tau_1, \dots, \tau_t$ [/mm] ein Vertretersystem der Nebenklassen von $H$ in $Gal(L/K)$. Dann sind [mm] $\tau_1(\alpha), \dots, \tau_t(\alpha)$ [/mm] genau die verschiedenen Konjugierten von [mm] $\alpha$ [/mm] in $L$. Insbesondere ist $f := [mm] \prod_{i=1}^t [/mm] (x - [mm] \tau_i(\alpha)) \in [/mm] L[x]$ bereits ein Polynom in $K[x]$, und es ist irreduzibel: es ist naemlich das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$.
[/mm]
Daraus siehst du [mm] $[K(\alpha) [/mm] : K] = t = [G : H]$.
Es geht uebrigens auch einfacher: es gilt [mm] $\sigma|_{K(\alpha)} [/mm] = [mm] id_{K(\alpha)} \Leftrightarrow \sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha$. [/mm] Daraus folgt: $H = [mm] Fix(K(\alpha))$, [/mm] womit [mm] $L^H [/mm] = [mm] K(\alpha)$ [/mm] ist nach der Galoiskorrespondenz.
> (ii) Sei [mm]\alpha[/mm] ein primitives Element der Erweiterung
> [mm]L^H/K\:[/mm]. Es gilt dann, da [mm]\alpha \in L^H: \sigma(\alpha)=\alpha[/mm]
> für alle [mm]\sigma \in H[/mm]. Ist andererseits [mm]\sigma \in Gal(L/K) \backslash H \Rightarrow \sigma(\alpha) \not= \alpha[/mm],
> denn: Wäre [mm]\sigma(\alpha)=\alpha \Rightarrow[/mm] der
> Fixkörper [mm]L^U\:[/mm] der kleinsten Untergruppe [mm]U\:[/mm] von
> [mm]Gal(L/K)\:[/mm], die [mm]H\:[/mm] und [mm]\sigma[/mm] enthält, würde [mm]L^H\:[/mm]
> enthalten. Es folgt jedoch aus [mm]H \subset U: L^U \subset L^H[/mm].
> Also haben wir einen Widerspruch. Folglich [mm]\sigma(\alpha) \not= \alpha[/mm],
> falls [mm]\sigma \in Gal(L/K) \backslash H[/mm]
> Damit ist ein
> [mm]\alpha[/mm] wie in (i) gefunden.
> Stimmt das?
Ja, das stimmt so.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank, dein Lösungsvorschlag vereinfacht die Sache natürlich.
LG Lippel
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