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Moin,
ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem bezgl. elliptischen Kurven.
Eine ell. Kurve ist ja eine nicht-singuläre Kurve der Form E: [mm] y²=x^3+ax+b [/mm] mit Charakteristik ungleich 2,3.
Mein Problem ist nun, wie man dieses nicht-singulär ausschließt, das geht doch über die partiellen Ableitungen nach x und y, also damit da keine Schleifen und Spitzen in der Kurve entstehen:
[mm] \frac{\partial E}{\partial x}=-3x²-a \not= [/mm] 0 und [mm] \frac{\partial E}{\partial y}= [/mm] 2y [mm] \not= [/mm] 0.
In der Literatur steht dann häufig, dass eine ell. Kurve nicht-Singulär ist, wenn die Bedingung [mm] 4a^3+27b² \not= [/mm] 0 erfüllt ist. Ist dieser Ausdruck ein Zusammenschluss von beiden obigen Bedingungen? Wenn ja, wie füge ich sie so zusammen??
Andererseits lese ich immer, dass die Diskriminante [mm] \Delta=-16(4a^3+27b²) [/mm] gilt, und wenn diese ungleich Null ist, bekommt man eine ell. Kurve, dabei zeigt [mm] \Delta [/mm] <0 oder >0, welche Gestalt die Kurve dann hat. Wie komme ich auf diese Diskriminante? Also wie leite ich diesen obigen Ausdruck her...
Sind die Aussagen mit den partiellen Ableitungen und der Diskriminante äquivalent?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Di 09.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem bezgl.
> elliptischen Kurven.
> Eine ell. Kurve ist ja eine nicht-singuläre Kurve der
> Form E: [mm]y²=x^3+ax+b[/mm] mit Charakteristik ungleich 2,3.
>
> Mein Problem ist nun, wie man dieses nicht-singulär
> ausschließt, das geht doch über die partiellen
> Ableitungen nach x und y, also damit da keine Schleifen und
> Spitzen in der Kurve entstehen:
>
> [mm]\frac{\partial E}{\partial x}=-3x^2-a \not=[/mm] 0 und
> [mm]\frac{\partial E}{\partial y}=[/mm] 2y [mm]\not=[/mm] 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In der Literatur steht dann häufig, dass eine ell. Kurve
> nicht-Singulär ist, wenn die Bedingung [mm]4a^3+27b² \not=[/mm] 0
> erfüllt ist. Ist dieser Ausdruck ein Zusammenschluss von
> beiden obigen Bedingungen? Wenn ja, wie füge ich sie so
> zusammen??
Die Bedingungen sind aequivalent. Wenn man von der vereinfachten Weierstrass-Gleichung (wie du sie hast, also [mm] $y^2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + a x + b$) ausgeht, ist es sogar recht einfach zu zeigen.
Aus [mm] $\frac{\partial E}{\partial y} [/mm] = 0$ folgt $y = 0$. Eine Singularitaet muss dann von der Form $(x, 0)$ mit $f(x) = 0$ (die Bedingung sagt, dass $(x, 0)$ auf der Kurve liegt) und $f'(x) = 0$ (diese Bedingung sagt, dass die partielle Ableitung nach $x$ verschwindet) sein, wobei $f(x) = [mm] x^3 [/mm] + a x + b$ ist.
Es gibt also genau dann eine Singularitaet, wenn das Polynom $f(x) = [mm] x^3 [/mm] + a x + b$ eine mehrfache Nullstelle hat. Wenn du nun die ![[]](/images/popup.gif) Diskriminante dieses kubischen Polynoms ausrechnest, kommt da $-4 [mm] a^3 [/mm] - 27 [mm] b^2$ [/mm] heraus, und nach der Theorie der Diskriminanten (siehe auch hier) hat $f$ genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich 0 ist.
(Bei der allgemeinen Weierstrassform und bei der allg. Definition der Diskriminante kann man das auch nachrechnen, es ist aber wesentlich ekeliger...)
> Andererseits lese ich immer, dass die Diskriminante
> [mm]\Delta=-16(4a^3+27b²)[/mm] gilt, und wenn diese ungleich Null
> ist, bekommt man eine ell. Kurve, dabei zeigt [mm]\Delta[/mm] <0
> oder >0, welche Gestalt die Kurve dann hat. Wie komme ich
> auf diese Diskriminante? Also wie leite ich diesen obigen
> Ausdruck her...
>
> Sind die Aussagen mit den partiellen Ableitungen und der
> Diskriminante äquivalent?
Ja.
LG Felix
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Ok, habe die Diskriminante jetzt auch rausbekommen mit [mm] -4a^3-27b². [/mm] Warum steht dann aber in vielen Büchern noch diese -16 davor? Das irritiert mich jetzt ein wenig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 09.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ok, habe die Diskriminante jetzt auch rausbekommen mit
> [mm]-4a^3-27b².[/mm] Warum steht dann aber in vielen Büchern noch
> diese -16 davor? Das irritiert mich jetzt ein wenig.
das ist aus historischen Gruenden so. Die meisten verwenden sie, manche aber auch nicht.
LG Felix
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