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Ellipsen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Do 10.05.2007
Autor: blascowitz

Aufgabe
Zeigen Sie:

Wenn ein Lichtstrahl von einem Brennpunkt aus an der Ellipse reflektiert wird, geht der reflektierte Strahl immer durch den zweiten Brennpunkt

Guten Tach ich hab mal wieder ein Problem
Weil ich finde meinen Fehler nicht

Also ich nehme eine allegemeine Ellipse an:

[mm] \bruch{(x-x_{0})^2}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{(y-y_{0})^2}{b^2} [/mm] = 1

Das stelle ich dann nach y um:

[mm] (y-y_{0})^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] - [mm] \bruch{b^2 * (x-x_{0})^2}{a^2} [/mm]
y=  [mm] \pm b*\wurzel{1 - \bruch{(x-x_{0})^2}{a^2}} +y_{0} [/mm]

Nun kann ich ja aus symetriegründen nur ein vorzeichen betrachten ich entscheide mich für y=  [mm] -b*\wurzel{1 - \bruch{(x-x_{0})^2}{a^2}} +y_{0} [/mm]

Abgeleitet ist das dann [mm] \bruch{b(x-x_{0})}{a^2*\wurzel{1-\bruch{(x-x_{0})^2}{a^2}}} [/mm]
Dass ist dann der Anstieg aller Tangenten in Abhängigkeit von x-

Nun verschiebe ich die Ellipse so ein Koordinatensystem das F1 = [mm] (\wurzel{a^2-b^2}, [/mm] 0)
Und [mm] F2(-\wurzel{a^2-b^2} [/mm] , 0). Frage hier: Kann ich das einfach so machen, ich denke, dass ich noch koordinatentransformation machen muss. Wenn das so geht, fallen  dann noch die Mittelpunkte weg? das heißt [mm] x_{0}=y_{0} [/mm] = 0.
Jetzt habe ich ja zwei Punkte F1 und F2 und meinen Punkt P( x, [mm] -b*\wurzel{1 - \bruch{(x-x_{0})^2}{a^2}} +y_{0})Daraus [/mm] bestimme ich jetzt zwei Geradenanstiege und vergleiche dann die Schnittwinkel der Geraden miteinander wenn sie gleich sind hab ich die Behauptung bewiesen.

Geht das so?



        
Bezug
Ellipsen: Ableitung falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 10.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo blascowitz!


Deine Ableitung ist im Zähler falsch. Da muss es heißen:

$y' \ = \ [mm] \bruch{b*\red{(x-x_0)}}{a^2*\wurzel{1-\bruch{(x-x_{0})^2}{a^2}}}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


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