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Forum "Mengenlehre" - Elemente zur Relation ergänzen
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Elemente zur Relation ergänzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Mo 23.11.2009
Autor: denice

Hi. Habe hier noch  eine kurze Aufgabe, bei  der ich ganz kurz Hilfe bräuchte.
Gegeben ist die Menge M = {a; b; c} und die Menge R = {(a; a); (b; b); (a; b); (c; a)}
(a) Welche Elemente müssen sie zu R ergänzen, damit Sie eine Äquivalenzrelation/Ordnungsrelation auf M erhalten.
Bei der Äqu.rel. habe  ich mir  gedacht aufgrund der reflexivität  (c,c),  wegen  der  symmetrie (b,a)  und (a,c) (auch wegen  der transivität).
Wieso braucht  man die  (b,c) und  (c,b) denn nicht? Weil davon keins in R angeben ist?
Danke für Eure Mühe

        
Bezug
Elemente zur Relation ergänzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Mo 23.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi. Habe hier noch  eine kurze Aufgabe, bei  der ich ganz
> kurz Hilfe bräuchte.
>  Gegeben ist die Menge M = {a; b; c} und die Menge R = {(a;
> a); (b; b); (a; b); (c; a)}
>  (a) Welche Elemente müssen sie zu R ergänzen, damit Sie
> eine Äquivalenzrelation/Ordnungsrelation auf M erhalten.
>  Bei der Äqu.rel. habe  ich mir  gedacht aufgrund der
> reflexivität  (c,c),  wegen  der  symmetrie (b,a)  und
> (a,c) (auch wegen  der transivität).
>  Wieso braucht  man die  (b,c) und  (c,b) denn nicht? Weil
> davon keins in R angeben ist?
>  Danke für Eure Mühe


Hallo denice,

damit aus R eine Äquivalenzrelation wird, muss man
sie wohl zur "vollständigen" Relation auf M ergänzen,
welche aus allen neun möglichen Paaren besteht.

Um aus R eine Halbordnung zu machen, muss man
nur zwei Paare dazufügen.

LG    Al-Chw.




Bezug
                
Bezug
Elemente zur Relation ergänzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mo 23.11.2009
Autor: denice

Also bei der  Ord.rel. müssten das  dann (c,c) wegen reflexivität und  (b,c) wegen der  transitivität sein. Die  Antisymmetrie ist  ebenfalls gegeben.
Jetzt wollte ich fragen, ob das  richtig ist und ob das bei den  Äqu.rel. immer  alle  Elemente sein müssen und um welche es sich bei  der Ord.rel. handeln muss.  Dabei  erkenne ich  das nur  wenn  die Antisymmetrie durch Elemente nicht mehr gegeben  ist und  die reflexivität erkenne ich natürlich.
LG  Denice

Bezug
                        
Bezug
Elemente zur Relation ergänzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mo 23.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Also bei der  Ord.rel. müssten das  dann (c,c) wegen
> reflexivität     [ok]

> und  (b,c) wegen der  transitivität sein.     [notok]

Nicht (b,c), sondern (c,b)  !!

> Die  Antisymmetrie ist  ebenfalls gegeben.
>  Jetzt wollte ich fragen, ob das  richtig ist und ob das
> bei den  Äqu.rel. immer  alle  Elemente sein müssen und
> um welche es sich bei  der Ord.rel. handeln muss.  Dabei  
> erkenne ich  das nur  wenn  die Antisymmetrie durch
> Elemente nicht mehr gegeben  ist und  die reflexivität
> erkenne ich natürlich.
>  LG  Denice


Hallo Denice,

es geht nur darum, zu prüfen, ob die entsprechenden
Axiome wirklich erfüllt sind.

In einer Äquivalenzrelation müssen keineswegs alle
Elemente zueinander in Relation stehen, aber man
kann sagen: Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M
teilt diese in Teilmengen [mm] M_1,M_2,....., M_n [/mm] ein, derart,
dass innerhalb jeder dieser Teilmengen ("Äquivalenz-
klassen") jedes Element x mit jedem anderen Element
und mit sich selbst in der Relation steht.

LG   Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
Elemente zur Relation ergänzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Mo 23.11.2009
Autor: denice

Danke für deine Hilfe! :)
LG Denice

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