Elemente von R[X]/<X²+1> < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich überlege mir gerade, wie die Elemente in dem Faktorring [mm] \IR[X]/ [/mm] aussehen.
Dabei interessiert mich vor allem, welche Poynome NICHT in diesem Ring zu finden sind.
Die Idee: Die Elemente des Faktorrings sind wie folgt zu bestimmen:
[mm] \IR[X] / [/mm] = {g [mm] +h \mid [/mm] g [mm] \epsilon \IR[X] [/mm] } .
[mm] [/mm] selbst ist von der Form [mm] [/mm] = { [mm] h(X^2+1) \mid [/mm] h [mm] \epsilon \IR[X] [/mm] }
Also müssten die Elemente meines Faktorrings doch { g + [mm] h(X^2+1) \mid [/mm] g, h [mm] \epsilon \IR[X] [/mm] } sein.
Wie sehen diese Elemente aus? Mein Ansatz: Ich könnte ja zunächst jedes Polynom mit Koeffizienten aus [mm] \IR[X] [/mm] daraus entstehen lassen.
NUN ist es ja aber so, dass sich aufgrund der Isomorphie meines Faktorrings zu den komplexen Zahlen (wenn ich für X dann i einsetze) X² und -1 in der gleichen Äquivalenzklasse modulo [mm] x^2+1 [/mm] liegt.
Heißt das nun, dass ich, wenn ich meine Polynome (also die Elemente meines Faktorrings) modulo [mm] X^2+1 [/mm] betrachten will, alle X² = -1 setzen kann? Das scheint mir richtig. (?)
Will ich nun eine Parallele zu dem modulo rechnen in dem Faktorring [mm] \IZ/m \IZ [/mm] ziehen, könnte ich ("zu Fuß") wie folgt vorgehen:
17 [mm] \equiv [/mm] 2 (mod 5), da 17 -5 -5 -5 = 2
bei meinem Polynom komme ich auf das Resultat:
[mm] 3X^2+4X+1 [/mm] = 4X-2 (mod [mm] X^2+1) [/mm] ,
da [mm] 3X^2+4X+1 -(X^2+1)-(X^2+1)-(X^2+1) [/mm] = 4X-2
(Oder eben alternativ für [mm] X^2 [/mm] gleich -1 setzen).
Nun meine Frage zu Polynomen mit höheren Potenzen:
Da ja
[mm] [/mm] = { [mm] h(X^2+1) \mid [/mm] h [mm] \epsilon \IR[X] [/mm] }
war, kann ich das Spiel ja auch weiter spielen und muss mich bei h nicht auf lineare Polynome wie im obigen Fall (h=3) beschränken.
Ich könnte für eine Modulo-Darstellung von 3X^3+4X+1 wohl auch h= 3X setzen und dann folgte (3X^3+4X+1) - [mm] 3X(X^2+1) [/mm] = X+1.
So könnte ich alle Polynome auf eine Darstellung von Polynomen von Grad eins reduzieren. Mein Ergebnis wäre also: Die Polynome meines betrachteten Faktorraums haben alle (modulo meinem Ideal) die Potenz 1 oder 0.
Falls dies alles stimmt, habe ich soeben eine Infoseite für alle, die sich mit dem Thema noch beschäftigen werden, geschrieben;) Dann danke ich demjenigen, der trotz der Länge alles gelesen hat und meine Überlegungen bestätigt.
Wenn nicht, wäre ich ebenfalls sehr dankbar über eine Richtigstellung meiner Überlegungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> ich überlege mir gerade, wie die Elemente in dem
> Faktorring [mm]\IR[X]/[/mm] aussehen.
>
> Dabei interessiert mich vor allem, welche Poynome NICHT in
> diesem Ring zu finden sind.
Eigentlich ist [mm]\IR[X]/[/mm] eine Menge von Äquivalenzklassen von Polynomen. Alle Polynome aus [mm] $\IR[X]$ [/mm] liegen in einer dieser Äquivalenzklassen.
Die Frage, ob einzelne Polynome in dem Ring zu finden sind, ist also nicht sinnvoll. Aus deinen weiteren Ausführungen schließe ich, dass du auch was anderes meinst. Du möchtest für jede Äquivalenzklasse einen Vertreter möglichst geringen Grades angeben. Du zeigst richtig, dass es in jeder Äquivalenklasse einen Vertreter vom Grad 1 oder kleiner liegt.
> Die Idee: Die Elemente des Faktorrings sind wie folgt zu
> bestimmen:
>
> [mm]\IR[X] /[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {g [mm]+h \mid[/mm] g [mm]\epsilon \IR[X][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} .
Das h muss weg, wo soll das herkommen? Ich denke mal das ist ein Schreibfehler.
> [mm][/mm] selbst ist von der Form [mm][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]h(X^2+1) \mid[/mm] h
> [mm]\epsilon \IR[X][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Also müssten die Elemente meines Faktorrings doch { g +
> [mm]h(X^2+1) \mid[/mm] g, h [mm]\epsilon \IR[X][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie sehen diese Elemente aus? Mein Ansatz: Ich könnte ja
> zunächst jedes Polynom mit Koeffizienten aus [mm]\IR[X][/mm] daraus
> entstehen lassen.
>
> NUN ist es ja aber so, dass sich aufgrund der Isomorphie
> meines Faktorrings zu den komplexen Zahlen (wenn ich für X
> dann i einsetze) X² und -1 in der gleichen
> Äquivalenzklasse modulo [mm]x^2+1[/mm] liegt.
>
> Heißt das nun, dass ich, wenn ich meine Polynome (also die
> Elemente meines Faktorrings) modulo [mm]X^2+1[/mm] betrachten will,
> alle X² = -1 setzen kann? Das scheint mir richtig. (?)
Ja
> Will ich nun eine Parallele zu dem modulo rechnen in dem
> Faktorring [mm]\IZ/m \IZ[/mm] ziehen, könnte ich ("zu Fuß") wie
> folgt vorgehen:
>
> 17 [mm]\equiv[/mm] 2 (mod 5), da 17 -5 -5 -5 = 2
>
> bei meinem Polynom komme ich auf das Resultat:
> [mm]3X^2+4X+1[/mm] = 4X-2 (mod [mm]X^2+1)[/mm] ,
> da [mm]3X^2+4X+1 -(X^2+1)-(X^2+1)-(X^2+1)[/mm] = 4X-2
>
> (Oder eben alternativ für [mm]X^2[/mm] gleich -1 setzen).
>
> Nun meine Frage zu Polynomen mit höheren Potenzen:
>
> Da ja
> [mm][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]h(X^2+1) \mid[/mm] h [mm]\epsilon \IR[X][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> war, kann ich das Spiel ja auch weiter spielen und muss
> mich bei h nicht auf lineare Polynome wie im obigen Fall
> (h=3) beschränken.
>
> Ich könnte für eine Modulo-Darstellung von 3X^3+4X+1 wohl
> auch h= 3X setzen und dann folgte (3X^3+4X+1) - [mm]3X(X^2+1)[/mm] =
> X+1.
>
> So könnte ich alle Polynome auf eine Darstellung von
> Polynomen von Grad eins reduzieren. Mein Ergebnis wäre
> also: Die Polynome meines betrachteten Faktorraums haben
> alle (modulo meinem Ideal) die Potenz 1 oder 0.
Ja, das stimmt.
> Falls dies alles stimmt, habe ich soeben eine Infoseite
> für alle, die sich mit dem Thema noch beschäftigen
> werden, geschrieben;) Dann danke ich demjenigen, der trotz
> der Länge alles gelesen hat und meine Überlegungen
> bestätigt.
> Wenn nicht, wäre ich ebenfalls sehr dankbar über eine
> Richtigstellung meiner Überlegungen.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Di 20.12.2011 | | Autor: | dudelidei |
Hallo Lippel,
vielen Dank, ja, ich meinte die Angabe von Repräsentanten, habe mich nur falsch ausgedrückt. Danke fürs Lesen!
Viele Grüße,
dudel
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