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Forum "Diskrete Mathematik" - Elemente der Menge...
Elemente der Menge... < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Elemente der Menge...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Sa 24.09.2011
Autor: studentxyz

Hallo,

gefragt sind welche Elemente in der Menge:

M = {x [mm] \in \IZ [/mm] | [mm] x^3 [/mm] = x }


Dazu habe ich folgendes umgeformt:

[mm] x^3 [/mm] = x
[mm] x^3 [/mm] - x = 0
[mm] x(x^2-1) [/mm] = 0
x(x-1)(x+1)=0

setzt man jetzt für x -1,0,1 ein ist die Gleichung erfüllt.

Wie begrüde ich jetzt aber das dies die einzigsten Zahlen sind die passen?

        
Bezug
Elemente der Menge...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Sa 24.09.2011
Autor: Fulla

Hallo studentxyz,

> Wie begrüde ich jetzt aber das dies die einzigsten Zahlen
> sind die passen?

weil ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Oder weil ein Polynom 3. Grades höchstens 3 Nullstellen haben kann.

Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
                
Bezug
Elemente der Menge...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Sa 24.09.2011
Autor: studentxyz

Stimmt, aber gibt es nicht noch einen einfachen Beweis dafür das höhere Zahlen nicht passen werden?

Kann man da einfach sagen das die ganzen Zahlen "kontinuierlich" wachsen oder schrumpfen bei negativen?

Bezug
                        
Bezug
Elemente der Menge...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Sa 24.09.2011
Autor: felixf

Moin!

> Stimmt, aber gibt es nicht noch einen einfachen Beweis
> dafür das höhere Zahlen nicht passen werden?

Wenn $|x| > 1$, dann gilt [mm] $|x^3| [/mm] = [mm] |x^2| \cdot [/mm] |x| > [mm] |x^2| [/mm] > |x|$ und somit kann niemals [mm] $|x^3| [/mm] = |x|$ sein, was aber aus [mm] $x^3 [/mm] = x$ folgt.

Also muss $|x| [mm] \le [/mm] 1$ sein.

LG Felix


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Bezug
Elemente der Menge...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 So 25.09.2011
Autor: studentxyz

Ah, danke. Das ist mittlerweile verständlich.

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