Elementarzellenorientierung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 26.09.2013 | | Autor: | taugenix |
Hi. Habe da ein kleines Problem, eigentlich aus dem Bereich Chemie/Festkörperphysik aber ich denke ein Mathematiker könnte es besser lösen und auch erklären.
Gegeben ist eine kubische Elementarzelle wie in Bild 1 (In diesem Fall kubisch raumzentriert, die Kugeln entsprechen Atomen).
Bekannt ist die Geometrie der Zelle, d.h. Kantenlänge "a" und daraus die Bindungswinkel, Koordinatensystem, Bindungsabstände, etc.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun wird diese Zelle beliebig gedreht, man weiss nicht um welche Achsen oder Winkel (Bild 2).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist es nun möglich die Transformationsmatrix zu bestimmen, durch welche die Zelle aus Bild 1 auf die Zelle aus Bild 2 abgebildet wird?
Achtung: Das ganze soll mit einem Computerprogramm automatisiert werden und die Atome haben keine ID oder ähnliches. Man kennt lediglich ihre Koordinaten.
Mein Ansatz: Es reicht wenn man einen einzigen beliebigen "Bindungsvektor" vom Mittelatom zu einem Eckatom betrachtet. Allerdings muss genau dieser Bindungsvektor nach der Drehung erst einmal gefunden/identifiziert werden um sagen zu können, wie er gedreht wurde.
Gibt es Anregungen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hi. Habe da ein kleines Problem, eigentlich aus dem Bereich
> Chemie/Festkörperphysik aber ich denke ein Mathematiker
> könnte es besser lösen und auch erklären.
>
> Gegeben ist eine kubische Elementarzelle wie in Bild 1 (In
> diesem Fall kubisch raumzentriert, die Kugeln entsprechen
> Atomen).
> Bekannt ist die Geometrie der Zelle, d.h. Kantenlänge "a"
> und daraus die Bindungswinkel, Koordinatensystem,
> Bindungsabstände, etc.
>
> Nun wird diese Zelle beliebig gedreht, man weiss nicht um
> welche Achsen oder Winkel (Bild 2).
>
> Ist es nun möglich die Transformationsmatrix zu bestimmen,
> durch welche die Zelle aus Bild 1 auf die Zelle aus Bild 2
> abgebildet wird?
>
> Achtung: Das ganze soll mit einem Computerprogramm
> automatisiert werden und die Atome haben keine ID oder
> ähnliches. Man kennt lediglich ihre Koordinaten.
>
> Mein Ansatz: Es reicht wenn man einen einzigen beliebigen
> "Bindungsvektor" vom Mittelatom zu einem Eckatom
> betrachtet. Allerdings muss genau dieser Bindungsvektor
> nach der Drehung erst einmal gefunden/identifiziert werden
> um sagen zu können, wie er gedreht wurde.
>
> Gibt es Anregungen?
Hallo taugenix,
was da nötig wäre, ist offenbar einfach eine Drehmatrix
für eine Drehung im [mm] \IR^3 [/mm] .
Aus deinen Angaben wird allerdings überhaupt nicht klar,
was genau man als gegeben und was als gesucht
betrachten kann. In diesem Sinne müsstest du das Problem
also genauer beschreiben.
Übrigens genügt es, um eine Drehung genau festzulegen,
keineswegs, etwa nur den Bildvektor eines einzigen
Vektors anzugeben.
Wichtig zu wissen wäre auch, in was für einem Koordi-
natensystem überhaupt gerechnet werden soll. Falls
es wirklich nur um die Drehung (und keine Verschiebungen)
geht, würde ich natürlich ein Ur-Koordinatensystem
vorschlagen, welches seinen Ursprung im Würfelmittelpunkt
hat und dessen Längeneinheit so gewählt ist, dass die
Ecken des Ausgangswürfels die Koordinaten (±1, ±1, ±1)
haben.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Do 26.09.2013 | | Autor: | taugenix |
Hi, Danke für die schnelle Antwort.
Ich versuche mal das Problem etwas genauer zu beschreiben.
Gegeben sind im Grunde nur die Koordinaten der Atome in Bild 2 und Bild 1.
Bei der Transformation handelt es sich um eine Drehung, ohne Translation.
Alle Abstände und Winkel bleiben somit erhalten.
Ich möchte jetzt wissen, wie das "Ur-Koordinaten-System" (meinetwegen mit dem Ursprung im zentrierten Atom) gedreht werden muss, damit die ursprünglichen Atome alle auf die Atome in Bild 2 abgebildet werden.
Zu meinem Ansatz ein kleines Bsp.:
Gegeben sind die Koordinaten der Atome auf der rechten Seite im folgenden Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Atome erhält man durch Drehung der Atome auf der Linken Seite (linke E-Zelle) umd die z-Achse um 45 Grad. Bezüglich des "Globalen" Koordinatensystems lautet die x-Achse der rechten E-Zelle (1,1,0) und die y-Achse entsprechend (-1,1,0).
Eben diese Orientierungen in Bezug auf das "globale" Koord.sys. ist das was ich suche.
Falls noch Angaben fehlen sollten bitte anmerken.
Grüße,
taugenix.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo taugenix,
wesentlich mehr hast du eigentlich damit nicht gesagt.
Allerdings lässt sich für das einfache Beispiel mit der
45°-Drehung um die z-Achse sehr leicht die Matrix
angeben, nämlich:
$\ [mm] R_z(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm]
wobei du für [mm] \alpha [/mm] noch den konkreten Drehwinkel, also
45° , einsetzen kannst. Wegen sin(45°)=cos(45°)= [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}
[/mm]
kann man die Matrix dann auch so schreiben:
[mm] $\begin{pmatrix} c & -c & 0 \\ \ c & c & 0\ \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] mit $\ c\ =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}\ \approx\ [/mm] 0.7071$
Für allgemeinere Fälle schau doch mal, ob du mit der
einschlägigen Wiki-Seite etwas anfangen kannst:
![[]](/images/popup.gif) Drehmatrix
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Do 26.09.2013 | | Autor: | taugenix |
das problem ist halt sehr allgemein. Ich weiss schon was eine drehmatrix ist, das ist nicht das problem. Und das mit den 45 grad war nur ein beispiel. tatsächlich ist nicht bekannt um welchen winkel und um welche achse gedreht wurde.
ich versuchs mal anders herum: gegeben sind 9 atome mit ihren koordinaten. Sie bilden eine kubische zelle mit einem atom in der mitte. Diese zelle ist irgendwie verdreht, so dass ihre kanten nicht mehr parallel zu den achsen des globalen koordsys. sind. Gesucht ist nun die rot.matrix, die nötig ist, um die koordinaten so zu drehen, dass die kanten der kubischen zelle, die sie bilden, parallel zu den achsen des globalen koord.sys. werden.
Im grunde soll zelle2 (siehe die rechte seite der abbildung in meinem vorherigen beitrag) so gedreht werden, dass ihre ecken mit denen von zelle1 (linke seite) zusammenfallen.
Simpler kann ich es leider nicht formulieren.
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> das problem ist halt sehr allgemein. Ich weiss schon was
> eine drehmatrix ist, das ist nicht das problem. Und das mit
> den 45 grad war nur ein beispiel. tatsächlich ist nicht
> bekannt um welchen winkel und um welche achse gedreht
> wurde.
>
> ich versuchs mal anders herum: gegeben sind 9 atome mit
> ihren koordinaten. Sie bilden eine kubische zelle mit einem
> atom in der mitte. Diese zelle ist irgendwie verdreht, so
> dass ihre kanten nicht mehr parallel zu den achsen des
> globalen koordsys. sind. Gesucht ist nun die rot.matrix,
> die nötig ist, um die koordinaten so zu drehen, dass die
> kanten der kubischen zelle, die sie bilden, parallel zu den
> achsen des globalen koord.sys. werden.
> Im grunde soll zelle2 (siehe die rechte seite der
> abbildung in meinem vorherigen beitrag) so gedreht werden,
> dass ihre ecken mit denen von zelle1 (linke seite)
> zusammenfallen.
>
> Simpler kann ich es leider nicht formulieren.
Na gut - aber was soll denn nun wirklich konkret
gegeben sein ? Wenn du alles in beliebiger Allgemeinheit
lassen willst, kann ich nicht viel mehr machen, als dir
ebenfalls so allgemeine Hinweise wie den auf die Rota-
tionsmatrix geben.
"Allgemeine" Probleme löst man oft am effizientesten,
indem man sich zunächst einmal ein ganz konkretes,
typisches (also auch nicht zu einfaches !) Beispiel
vornimmt und dieses löst. Anschließend kann man dann
versuchen, die Methode zu verallgemeinern.
Du könntest zum Beispiel so vorgehen:
1.) Nimm den Würfel mit den Ecken (±1, ±1, ±1)
2.) Unterwirf den Würfel einer konkreten Drehung,
die du z.B. durch eine Matrix oder durch Drehachse
und Drehwinkel beschreibst.
3.) Nun hast du Koordinaten von 8 neuen Eckpunkten
A,B,C,D,E,F,G,H
4.) Nun tust du so, als wüsstest du nichts mehr über
die Einzelheiten der vorangegangenen Drehung - und
schon gar nichts über die Drehmatrix
5.) Nun versuchst du, allein aus den Koordinaten der
gedrehten Punkte die Drehung (entweder Achse und
Drehwinkel oder direkt die Drehmatrix) zu rekonstru-
ieren. Mach dir zunächst klar, wie viele Punkte des
gedrehten Würfels du wirklich dazu brauchst.
6.) Auf diesem Weg wirst du zu einem gewissen
Gleichungssystem gelangen, das dann zu lösen ist.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Di 01.10.2013 | | Autor: | taugenix |
Danke für die Antwort.
Nur dass wir uns nicht falsch verstehen. Ich will hier keinen
Lösungsweg oder ähnliches. Die Frage wäre zunächst einmal, ob das
überhaupt machbar wäre.
Ich versuche mal das Problem anhand eines Beispiels konkreter zu
formulieren. Allerdings muss ich dazu etwas weiter ausholen (was ich
dem Leser eigentlich ersparen wollte):
-Festkörper sind aus kristallinen Gittern aufgebaut. Die kleinste
Wiederholungseinheit besteht aus einer kubischen Elementarzelle mit
einer Kantenlänge von 2,86*10^-9 m. (Wie in meinen Abbildungen).
Natürlich gibt es Elementarzellen auch in anderen Geometrien, ich
beschränke mich hier jedoch auf das Material Eisen.
Das Konzept ist, denke ich mal, nichts neues für einen Mathematiker.
Für eine halbwegs vollständige mathematische Beschreibung verweise ich
trotzdem mal auf:Für eine mathematische Beschreibung siehe :
http://de.wikipedia.org/wiki/Elementarzelle
-Nun ist es in der Praxis jedoch so, dass Eisen nicht einkristallin
ist, d.h. die Atome bilden kein durchgehend einheitliches, homogenes
Punktgitter sondern eine Vielzahl von kleinen, unterschiedlich
orientierten Einkristallen (Kristallite). Siehe folgende Abb.:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Gitter in den einzelnen Bereichen ist widerum einheitlich. Zwischen den einheitlichen Bereichen sind sog. "Korngrenzen".
Sie haben keine erkennbare Kristallstruktur und die Atome sind mehr oder minder zufällig angeordnet.
-Da viele wichtige Materialeigenschaften von der Miktrostruktur eines
Materials abhängen, wozu z.B. die Größen dieser Kristallite und auch
ihre Orientierungen zählen, ist es von Interesse diese zu bestimmen.
-Ich demonstriere einmal "per Hand" was ich gerne automatisieren möchte.
Das Vorgehen ist in folgender Abb. veranschaulicht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gegeben ist zunächst ein Polykristall mit bekanntem Koordinatensystem und Ursprung. Das Koordsys. ist ein Rechtssystem und alle Achsen sind orthogonal.
Ebenso sind alle Atomkoordinaten bekannt.
Nun wird ein beliebiges Atom (vorzugsweise keines der Korngrenzenatome) ausgewählt und es werden nur noch Atome in direkter Nachbarschaft
betrachtet, indem nur Atome betrachtet werden, deren Abstand von diesem Atom kleiner als "c" ist.
Auf diese Weise erhält man 8 Atome (das Atom in der Mitte ausgeschlossen), die einen Würfel bilden.
Nun wird eine beliebige Ecke des Würfels als Ursprung des neuen, grünen Koordinatensystems gewählt (Ich werde mir noch ein Kriterium für die Wahl des neuen Ursprungs überlegen müssen. Vorerst sollte es so sein, dass der neue Ursprung so gewählt werden soll, dass die zugehörigen Drehungen minimal sind).
Die Frage ist nun, wie müssen x,y und z gedreht werden, damit sie parallel zu x', y' und z' werden?
Wie gesagt, ich verlange keine Lösung. Es wäre nur gut zu wissen, ob das machbar wäre.
Beste Grüße,
taugenix.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Danke für die Antwort.
> Nur dass wir uns nicht falsch verstehen. Ich will hier
> keinen
> Lösungsweg oder ähnliches. Die Frage wäre zunächst
> einmal, ob das
> überhaupt machbar wäre.
>
> Ich versuche mal das Problem anhand eines Beispiels
> konkreter zu
> formulieren. Allerdings muss ich dazu etwas weiter
> ausholen (was ich
> dem Leser eigentlich ersparen wollte):
>
> -Festkörper sind aus kristallinen Gittern aufgebaut. Die
> kleinste
> Wiederholungseinheit besteht aus einer kubischen
> Elementarzelle mit
> einer Kantenlänge von 2,86*10^-9 m. (Wie in meinen
> Abbildungen).
> Natürlich gibt es Elementarzellen auch in anderen
> Geometrien, ich
> beschränke mich hier jedoch auf das Material Eisen.
> Das Konzept ist, denke ich mal, nichts neues für einen
> Mathematiker.
> Für eine halbwegs vollständige mathematische
> Beschreibung verweise ich
> trotzdem mal auf:Für eine mathematische Beschreibung
> siehe :
> http://de.wikipedia.org/wiki/Elementarzelle
>
> -Nun ist es in der Praxis jedoch so, dass Eisen nicht
> einkristallin
> ist, d.h. die Atome bilden kein durchgehend einheitliches,
> homogenes
> Punktgitter sondern eine Vielzahl von kleinen,
> unterschiedlich
> orientierten Einkristallen (Kristallite). Siehe folgende
> Abb.:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Das Gitter in den einzelnen Bereichen ist widerum
> einheitlich. Zwischen den einheitlichen Bereichen sind sog.
> "Korngrenzen".
> Sie haben keine erkennbare Kristallstruktur und die Atome
> sind mehr oder minder zufällig angeordnet.
>
> -Da viele wichtige Materialeigenschaften von der
> Miktrostruktur eines
> Materials abhängen, wozu z.B. die Größen dieser
> Kristallite und auch
> ihre Orientierungen zählen, ist es von Interesse diese zu
> bestimmen.
>
> -Ich demonstriere einmal "per Hand" was ich gerne
> automatisieren möchte.
> Das Vorgehen ist in folgender Abb. veranschaulicht:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Gegeben ist zunächst ein Polykristall mit bekanntem
> Koordinatensystem und Ursprung. Das Koordsys. ist ein
> Rechtssystem und alle Achsen sind orthogonal.
> Ebenso sind alle Atomkoordinaten bekannt.
> Nun wird ein beliebiges Atom (vorzugsweise keines der
> Korngrenzenatome) ausgewählt und es werden nur noch Atome
> in direkter Nachbarschaft
> betrachtet, indem nur Atome betrachtet werden, deren
> Abstand von diesem Atom kleiner als "c" ist.
>
> Auf diese Weise erhält man 8 Atome (das Atom in der Mitte
> ausgeschlossen), die einen Würfel bilden.
>
> Nun wird eine beliebige Ecke des Würfels als Ursprung des
> neuen, grünen Koordinatensystems gewählt (Ich werde mir
> noch ein Kriterium für die Wahl des neuen Ursprungs
> überlegen müssen. Vorerst sollte es so sein, dass der
> neue Ursprung so gewählt werden soll, dass die
> zugehörigen Drehungen minimal sind).
>
> Die Frage ist nun, wie müssen x,y und z gedreht werden,
> damit sie parallel zu x', y' und z' werden?
>
> Wie gesagt, ich verlange keine Lösung. Es wäre nur gut zu
> wissen, ob das machbar wäre.
>
> Beste Grüße,
>
> taugenix.
Hallo taugenix,
zunächst mal danke für die Erläuterungen und die Zeichnungen.
Meine Antwort auf deine Frage ist ganz simpel:
Da es sich bei der gesuchten Koordinatentransformation um
eine Drehung im [mm] \IR^3 [/mm] handelt (allenfalls noch verbunden
mit einer Parallelverschiebung), ist das Ganze bestimmt
machbar. Nur eben, wie ich schon vorher gemeldet habe:
damit klar wird, was genau im Einzelnen zu tun ist, sollte
spezifiziert werden, von welchen Daten man ausgehen soll.
Falls (wie ich das jetzt verstanden habe), die Koordinaten
aller 8 Eckpunkte eines Würfels ABCDEFGH (in üblicher
Weise beschriftet) bezüglich eines dazu verdrehten Koor-
dinatensystems bekannt sind, so würde eigentlich schon
die Angabe der Koordinaten von 3 dieser Punkte (z.B. A, B, D)
genügen, um die Transformation zu einem neuen System
zu beschreiben, welches z.B. seinen Ursprung im Punkt A
hat und in welchem die 3 Vektoren [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}
[/mm]
die Rolle der 3 Basis-Einheitsvektoren übernehmen.
Falls es nötig ist, die dazu erforderlichen Drehungen
durch Winkel zu beschreiben, ist dies selbstverständlich
auch möglich (siehe z.B. "Eulersche Winkel")
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 26.09.2013 | | Autor: | taugenix |
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