Elementarteiler + allgem. und Jordan Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
ich habe eine Aufgabe, wo ich mich nur vergewissern wollte, ob ich das hier richtig habe. Also los geht's:
Zuerst sollen wir zu den noch folgenden Matrizen A die Elementarteiler von x*E - A, wobei x die Variable des K[x]-Moduls ist und E die betreffende Einheitsmatrix. Dann sollen wir noch die allgemeine und die Jordansche Normalform (falls letztere existiert) angeben.
a) [mm] &A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \in\IQ^{3x3}
[/mm]
b) [mm] &A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix} \in\IR^{4x4}
[/mm]
c) [mm] &A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix} \in\IQ^{4x4}
[/mm]
So und ich habe folgendes raus:
bei a) als Elementarteiler 1 , $ x $ und $ [mm] x^2-x [/mm] $
Als allgemeine und auch als Jordansche Normalform habe ich folgende Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \in\IQ^{3x3}
[/mm]
bei b) die Elementarteiler: 1, $ x $ und $ [mm] x^3-5x^2+2x [/mm] $
und wieder habe ich die selbe Matrix für beide Noramalformen, folgende:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \bruch{5}{2} - \bruch{\wurzel{17}}{2} & 0 \\
0 & 0& 0& \bruch{5}{2} +\bruch{\wurzel{17}}{2}
\end{pmatrix} \in\IR^{4x4}
[/mm]
bei c habe ich die selben Elementarteiler wie bei b), aber ich habe nur eine allgemeine Normalform gefunden, da die Polynome (minimal und charakteristisches) nicht in Linearfaktoren zerfallen. Für die allgemeine habe ich:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 0& 1 & -2
\end{pmatrix} \in\IQ^{4x4}
[/mm]
Also ich finde dies Lösungen ein wenig komisch, da wir kein Beispiel hatten, indem allgemeine und Jordansche Normalform übereinstimmen. Also wenn einer mal schauen kann ob das trotzdem so richtig ist, wäre ich sehr dankbar.
Frank
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Gruss!
Leider ist mir die "allgemeine Normalform" nicht gelaeufig, daher kann ich dazu nicht viel sagen... aber die J. Form von a) stimmt, das sieht man mit blossem Auge. (Der Kern hat Dimension 2 und (1,-1,1) ist offensichtlich fix).
Bei b) und c) sieht man ebenfalls sofort, dass der Kern 2-dimensional ist. Insgesamt kann ich also nicht vollends gruenes Licht geben, aber es sieht schon richtig aus, was da gemacht wurde...
Lars
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, ich denke es ist alles richtig. Auch die rationale kanonische Normalform scheint richtig zu sein (beim letzten Beispiel verrechne ich mich dauernd, von daher glaube ich dir da mal  ).
> Also ich finde dies Lösungen ein wenig komisch, da wir kein
> Beispiel hatten, indem allgemeine und Jordansche Normalform
> übereinstimmen.
Ja, aber wenn das charakteristische Polynom in einfache Linearfaktoren zerfällt, ist das klar, da ja dann bei der rationalen kanonischen Form keine "rechte Spalte" in der Matrix steht, wo sonst die Koeffizienten der charakteristischen Polynome der invarianten Unterräume stehen. Auch wenn $0$ ein (auch mehrfacher!) Eigenwert ist, passiert nichts, da dann die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms alle trivial sind.
Du hast also, denke ich, alles richtig gemacht. ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Liebe Grüße
Stefan
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Vielen Dank Leute. Das hilft meiner Rechengruppe und mir echt weiter. Einige müssen nämlich zum Prof und das vorrechnen. Wir werden jetzt also wesentlich selbstbewusster dahin gehen.
Noch mal vielen Dank.
Frank
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