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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Do 13.01.2005 | | Autor: | DaMazen |
Aufgabe: P sei einPunkt, der vom Mittelpunkt M eines KReises k mit Radius r die Entfernung d hat. Es gelte d ungleich r. Eine beliebige Gerade g durch P schneide k in den Punkten Q und R.
Beweisen Sie: |PQ | * |PR | = [mm] \pm [/mm] (d²-r²)
ich habe schon stundenlang an der zeichnung rumprobiert und alles mögliche getestet. leider bin ich doch nihct zu einem beweis bzw wenigstens einer idee gekommen...
das einzige wären die 2 dreiecke und das rechteck die über dem dreieck MPQ(R) entstehen. doch leider komme ich da mit pythagoras nicht weiter da ich keinen rechten winkel habe.
kann mir jemand helfen?
thx gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Do 13.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber DaMazen
Es ist wohl eine Fallunterscheidung nötig:
Fall 1: d > r
Fall 2: d < r
Für Fall 1 könnte das etwa so gehen
Mach bitte eine Skizze: P ausserhalb des Kreises, dann Q von P aus gesehen der nähere Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis, und R der andere Schnittpunkt.
Dann kannst du M einerseits mit P verbinden, anderseits mit Q und schliesslich noch mit der Mitte von QR. Ich bezeichne diese Mitte hier mal mit S.
Jetzt ist das Dreieck MSP rechtwinklig, ebenso das Dreieck MSQ.
Aus Dreieck MSQ folgt (Pythagoras):
[mm] $|MS|^2=r^2-|QS|^2=r^2-\bruch{|QR|^2}{4}$
[/mm]
Aus Dreieck MSP folgt (Pythagoras):
[mm] $|MS|^2=d^2-(|PQ|+|QS|)^2=d^2-(|PQ|+\bruch{|QR|}{2})^2$
[/mm]
Daraus folgt doch:
[mm] $d^2-(|PQ|+\bruch{|QR|}{2})^2=r^2-\bruch{|QR|^2}{4}$
[/mm]
Ausmultiplizieren und etwas zusammenfassen und umordnen:
[mm] $|PQ|^2+|PQ||QR|=d^2-r^2$
[/mm]
Ausklammern:
[mm] $|PQ|(|PQ|+|QR|)=d^2-r^2$
[/mm]
Mit $|PQ|+|QR|=|PR|_$ folgt aber sofort die Behauptung.
Ich glaube, Fall 2 sollte sich entsprechend lösen lassen.
Willst du das mal versuchen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Do 13.01.2005 | | Autor: | DaMazen |
Hmm wirklich schön!
vielen dank hast mir sehr geholfen!
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