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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Zeigen Sie:
1. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{n,p}[/mm] und [mm]\lambda \in K[/mm] gilt: [mm][mm] \lambda(AB) [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] A)B = [mm] A(\lambda [/mm] B).
2. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{n,p}[/mm] und [mm]C \in K^{n,p}[/mm] gilt: A(B+C) = AB + AC.
3. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{p,m}[/mm] und [mm]C \in K^{p,m}[/mm] gilt:(B+C)A = BA + CA.
4. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{n,p}[/mm] und [mm]C \in K^{p,r}[/mm] gilt: (AB)C = A(BC).
5. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{n,p}[/mm] gilt: [mm](AB)^T = B^TA^T[/mm]. |
Ich habe Probleme mit dem Beweisen. Also habe ich mir die Aufgabe mehrmals durchgelesen. Nun frage ich mich, ob mir die Körperaxiome beim Beweisen helfen, da ja Voraussetzung ist, dass K ein Körper ist. Kann mir jemand helfen einen Ansatz zu finden?
Danke im Voraus.
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> Sei K ein Körper. Zeigen Sie:
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> 1. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{n,p}[/mm] und [mm]\lambda \in K[/mm] gilt:
> [mm][mm]\lambda(AB)[/mm] = [mm](\lambda[/mm] A)B = [mm]A(\lambda[/mm] B).
2. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{n,p}[/mm] und [mm]C \in K^{n,p}[/mm] gilt: A(B+C) = AB + AC.
3. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{p,m}[/mm] und [mm]C \in K^{p,m}[/mm] gilt:(B+C)A = BA + CA.
4. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{n,p}[/mm] und [mm]C \in K^{p,r}[/mm] gilt: (AB)C = A(BC).
5. Für [mm]A \in K^{m,n}, B \in K^{n,p}[/mm] gilt: [mm](AB)^T = B^TA^T[/mm].
Ich habe Probleme mit dem Beweisen. Also habe ich mir die Aufgabe mehrmals durchgelesen. Nun frage ich mich, ob mir die Körperaxiome beim Beweisen helfen, da ja Voraussetzung ist, dass K ein Körper ist. Kann mir jemand helfen einen Ansatz zu finden?
Hallo,
es stimmt zwar, daß die Einträge der zu betrachtenden Matrizen Körperelemente sind, aber das ist nicht der Schlüssel zu dieser Aufgabe.
Du mußt hier wissen, wie die Multiplikation von zwei Matrizen definiert ist, die Addition und die Multiplikation v. Körperelementen mit Matrizen.
Hierfür mußt Du aus dem ff die elementweise Schreibweise beherrschen, also z.B.
Für [mm] A:=(a_i_k) [/mm] und [mm] B:=(b_i_k)
[/mm]
ist [mm] A+B:=(c_i_k) [/mm] mit [mm] c_i_k:=a_i_k+b_i_k.
[/mm]
(in Worten: die jeweiligen Einträge werden addiert.)
Schau Dir gut an, wie das für die Multiplikation mit einem Skalar [mm] \lambda [/mm] geht (in Worten: die jeweiligen Einträge werden mit [mm] \lambda [/mm] multipliziert.),
wie für die Multiplikation zweier Matrizen (Zeile*Spalte, elementweise sieht das etwas knifflig aus),
und wie die transponierte Matrix [mm] A^T [/mm] aus [mm] A:=(a_i_k) [/mm] hervorgeht.
Damit kannst Du dann die Aufgaben lösen.
Gruß v. Angela
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